Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8 .5: La distribución t 283
está “fu era d e c o n tro l” si la probabilidad de q ue S 2 asum irá un valor m ayor que, o
igual, al valor observado de la m uestra es 0.01 o m enor (aun cuando <r = 0.60). ¿Q ué
puede uno concluir sobre el proceso si la desviación estándar de una m uestra aleatoria
periódica tal es s = 0.84 m ilésim as de pulgada?
Solución
J\j2
El proceso se declarará “ fuera de control” s i j con n = 20 y a = 0.60
excede a jfo.ot.t9 = 36.191. Puesto que
(n - 1 )s2 _ 19(0.84)2 _
o 2 ~ (0.60)2 ” 3 7 -2 4
excede 36.191, se d eclara el pro ceso fuera de control. P or supuesto, se supone
q ue la m u e stra se p u ed e c o n sid e rar una m u estra a le a to ria de una población
norm al. ▲
8 .5 L A D IS T R IB U C IÓ N t
En el teorem a 8.4 dem ostram os que para m uestras aleatorias de una población norm al
con la m edia y y la varianza <r2, la variable aleatoria X tiene una distribución norm al con
la m edia y. y la varianza — ; en otras palabras,
X - ii
t r / V ñ
tiene la distribución norm al estándar. E ste es un resultado im portante, pero la m ayor
dificultad p ara aplicarlo es que en las aplicaciones m ás reales se desconoce la desviación
estándar de la población, a . E sto hace necesario reem plazar <r con un estim ado,
usualm cnte con e l valor de la desviación están d ar de la m uestra S. Así, la teoría que si-
X - a
gue nos lleva a la distribución exacta de para m uestras aleatorias de poblaciones
norm ales. ' n
P ara derivar esta distribución de m uestreo. estudiem os prim ero la situación más
general tra tad a en el teorem a siguiente.
t e o r e m a 8.12 Si Y y Z son variables aleatorias independientes, Y tiene la distribución
ji cuad rad a con v grados de libertad, y 7. tiene la distribución norm al
estándar, entonces la distribución de
está dada por