Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

402 Capítulo 12: Prueba de hipótesis: teoría
sa, esperaríam os que m áx L 0 sea pequeña com parada con m áx L , en cuyo caso A sería cercana
a cero. P or otra parte, cuando la hipótesis nula es verdadera y 6 e w, esperaríam os
que máx L 0 sea cercana a máx L , en cuyo caso A sería cercana a 1. U na prueba de la razón
de verosim ilitud afirm a, por consiguiente, que la hipótesis nula H0 se rechace si y sólo
si A cae en la región crítica de la form a A % k , donde 0 < k < 1. Para resum ir
d e f in ic ió n 12.4
p arám etro f t y si
Si u) y a)' son subconjuntos com plem entarios del espacio de
^ _ m áx L 0
m áx L
donde m áx L„ y m áx L son los valores m áxim os de la función de verosim ilitud
p ara todos los valores de 0 en cu y í l , respectivam ente, entonces la región crítica
A á k
donde 0 < k < 1 , define una p ru e b a d e ra z ó n d e v ero sim ilitu d de la hipótesis
nula 0 g ai contra la hipótesis alternativa 0 e <o'.
Si H0 es una hipótesis sim ple, se escoge k de m anera que el tam año de la región
crítica sea igual a a ; si H0 es com puesta, k se escoge de m anera que la probabilidad de
un erro r de tip o I sea m enor que, o igual a a para toda 0 en w, e igual a a , si es posible,
p ara al m enos un valor de 0 en a>. A sí, si H0 es una hipótesis sim ple y g(A ) es la
densidad de A e n A cuando H0 es verdad, entonces k debe ser tal que
P (A S k ) =
g ( \ ) d \ = a
E n el caso discreto, la integral se reem plaza con una sum a, y A se tom a com o el valor
m ás grande p a ra el cual la sum a es m enor que, o igual a a.
E JEM P LO 12.6
E ncuentre la región crítica d e la prueba de razón de verosim ilitud para p ro b ar la hipótesis
nula
H0: f i = /i-o
contra la alternativa com puesta
H\\
fi ^ fi0
sobre la base d e una m uestra aleatoria de tam año n de una población norm al con la varianza
conocida cr2.
Solución
Puesto que « sólo contiene se sigue que /z = p-o» Y puesto que fi es el conju
n to de to d o s los núm eros reales, se sigue p o r el m éto d o de la sección 10.7 que
4 = x . Así: