Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 12.4: El lema de N eym an-Pearson 393
12.2 D ecida en cada caso si la hipótesis es sim ple o com puesta:
(a)
(b)
(c)
(d)
la hipótesis de que una variable aleatoria tiene una distribución de Poisson
con A = 1.25;
la hipótesis de que una variable aleatoria tiene una distribución de Poisson
con A > 1.25;
la hipótesis de que una variable aleatoria tiene una distribución norm al
con la m edia /¿ = 1 0 0 :
la hipótesis de que una variable aleatoria tiene una distribución binom ial
negativa con k = 3 y ti < 0.60.
12.3 U na sola observación de una variable aleatoria q ue tiene una distribución hi-
pergeom étrica con N = 7 y n = 2 se usa para p ro b ar la hipótesis nula k = 2
contra la hipótesis alternativa k = 4. Si la hipótesis nula se rechaza si y sólo si
el valor de la variable aleatoria es 2 . encuentre las probabilidades de erro res tipo
I y de tip o II.
12.4 C on respecto al ejem plo 12.1. ¿cuáles hubieran sido las probabilidades de e rro ­
res de tipo I y de tipo II si la región de aceptación hubiera sido x > 16 y la re ­
gión de rechazo correspondiente hubiera sido x ^ 16?
12.5 U na observación única de una variable aleatoria que tiene una distribución geo ­
m étrica se usa para p ro b ar la hipótesis nula 9 = 0Ocontra la hipótesis altern a­
tiva 9 = 0, > 90. Si la hipótesis nula se rechaza si y sólo si el valor de la
variable aleatoria es m ayor que. o igual a, el entero positivo k, encu en tre las
expresiones para las probabilidades de erro res de tipo 1 y de tipo II.
1 2 .6 U na observación única de una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial
se usa para p ro b ar la hipótesis nula que la m edia de la distribución
es 9 = 2 contra la hipótesis alternativa que es 9 = 5. Si la hipótesis nula se rechaza
si y sólo si el valor de la variable aleatoria es m enor que 3. encuentre las
probabilidades de erro res de tipo I y de tipo II.
12.7 Sea que X t y X 2 constituyan una m uestra aleatoria de una población norm al
con a ' = 1. Si la hipótesis nula ¿i = /i(l va a ser rechazada en favor de la hipótesis
alternativa = ¿i, > cuando x > / ¿ 0 + 1. ¿cuál es el tam año de la
región crítica?
12.8 U na observación única de una variable aleatoria que tiene una densidad uniforme
con a = 0 se usa para p ro b ar la hipótesis nula /3 = /30 contra la hipótesis
alternativa fi = fin + 2. Si la hipótesis nula se rechaza si y sólo si el valor de
la variable aleatoria asum e un valor m ayor que /30 + 1 , encuentre las p ro b ab i­
lidades de errores de tipo I y de tipo II.
1 2 .9 Sea que A', y X2 constituyan una m uestra aleatoria de tam año 2 de la población
dada por
f[ r 9) ~ 1 9 x 6 1 p3ra 0 < x < 1
I 0 en cu a lq u ier o tra p a rte
Si la región crítica ^ J se usa para p ro b ar la hipótesis nula 9 = 1 contra
la hipótesis alternativa 9 = 2. ¿cuál es la potencia de esta prueba en 9 = 2 ?