Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 3.2: Distribuciones de probabilidades 79
Solución
C on base en las p robabilidades en la tabla de la página 76. encontram os que
= 0) = ¿, />(*=!) = A. p(x= 2 )= ft. />(X = 3) = f# y
P ( X = 4) = ^ . Al observar que los num eradores de estas cinco fracciones 1, 4,
/ 4 \ / 4 \ Í 4 \ Í 4 \ ( 4 \
6. 4 y 1 son los coeficientes binom iales I I, I I , I I, 1^1 y I I , encontram os
que la fórm ula para la distribución de probabilidad se puede escribir com o
f{x) = - 7 7 - para x = 0, 1, 2, 3. 4
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En la sección 5.4 se da una justificación teórica para esta fórm ula y un tratam ien ­
to m ás general para n tiros de una m oneda balanceada. ▲
EJEM PLO 3.4
V erifique si la función dada por
x + 2
/(* ) = 25 p a ra .r = 1,2, 3, 4, 5
puede servir com o distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Solución
Al su stitu ir los d iferen tes valores de x, o b ten em o s / ( l ) = ¿ , f[2) = g ,
fV>) = 5 . /( 4 ) = m y ñ$) = Puesto que todos estos valores son no negativos
se satisface la prim era condición del teorem a 3.1, y puesto que
/ ( . ) + ñ 2) + /( 3 ) + * 4 ) + / (5, = ¿ ¿ ¿ + A + L
se satisface la segunda condición del teorem a 3.1. Así, la función dada puede servir
com o la distribución de probabilidad de una variable aleatoria que tenga el intervalo
{1, 2, 3, 4, 5}. Por supuesto, si alguna variable aleatoria dada realm ente
tiene esta distribución de probabilidad es un asunto totalm ente distinto. ▲
= 1
E n algunos problem as es deseable p resentar gráficam ente las distribuciones de
probabilidad y las dos clases de presentaciones gráficas usadas para este propósito se
m uestran en las figuras 3.2 y 3.3. La m ostrada en la figura 3.2, llam ada un histograma
de probabilidad, o sim plem ente un histograma. rep resen ta la distribución de probabilidad
del ejem plo 3.3. La altura de cada rectángulo es igual a la probabilidad de que X
asum a el valor q ue corresponde al punto m edio de su base. AI representar 0 con el intervalo
de - 0 .5 a 0.5,1 con el intervalo de 0.5 a 1 .5 ,... y 4 con el intervalo de 3.5 a 4.5,
estam os, por así decirlo, “extendiendo" los valores de la variable aleatoria discreta d a­
da sobre una escala continua.