Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

176 C a pítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales
5 3 E n ia sección 5.3 no estudiam os la distribución de B ernoulli con m ucho d e ta ­
lle, porque puede considerarse com o u na distribución binom ial con n = 1. D e ­
m uestre que para la distribución de B em oulli, ¡i'r = 0 para r = 1 ,2 ,3 al
i
(a) evaluar la sum a ^ xr • f(x: 0 );
(b)
i = 0
hacer n = 1 en la función generatriz de m om entos de la distribución binom
ial y al exam inar su serie de M aclaurin.
5.4 U se el resu ltad o del ejercicio 5.3 para dem ostrar que p ara la distribución de
B em oulli
1 - 20
(a) a» = — / 1 , donde a-, es la m edida de la asim etría definida en el
V 0 ( 1 - 0) 3
ejercicio 4.34;
J 3 0 / J _ _ 0\
(b) a 4 = ------- j - ---- —------ . donde a 4 es la m edida
0 ( 1 — 0)
de distribución puntiaguda
definida en el ejercicio 4.35.
5.5 V erifique que
(a) b(x\ n, 0) = b{n — x; n, 1 — 0).
1
Tam bién dem uestre que si B(x; n, 0) = 2 b(k\ n, 0) para x = 0, 1 ,2
entonces *=0
(b) b(x\ n, 0) — B(x\ n, 0) — B(x — 1; n, 0);
(c) b(x; n, 0) = B(n — x\ rt, 1 — 0) — B(n — x — 1; n , 1 — 0);
(d) B{x\ n, 0) = 1 - B(n - x - 1; n, 1 - 0).
5.6 U n a dem ostración alternativa del teorem a 5.2 se puede basar en el hecho que
si X\, X2. . . . y Xn son variables aleatorias independientes que tienen la m ism a
distribución de Bem oulli con el parám etro 0. entonces Y = Xx + X2 + ■• • + Xn
es una variable aleatoria que tiene la distribución binomial con los parám etros n y 0 .
(a)
V erifique directam ente (esto es, sin recurrir al hecho que la distribución
de B em oulli es un caso especial de la distribución binom ial) que la m edia
y la varianza de la distribución de B ernoulli son ¿i = 0 y a 2 = 0(1 — 0).
(b) C on base en el teorem a 4.14 y su corolario en las páginas 158 y 159, d e ­
m uestre que si XUX2,... y Xn son variables aleatorias independientes que
tien en la m ism a distribución de B ernoulli con el p a rá m etro 0 y Y =
A', + X2 + h Xn, entonces
5.7 D em uestre el teorem a 5 3 .
E(Y) = n0 y v a r ( y ) = «0(1 — 0)
5.8 Al calcular todos los valores de una distribución binomial. suele ser posible simplificar
el trabajo al calcular prim ero b{0 ; n, 0) y después usar la fórm ula recursiva
M * + i ; - . »> = (x >7,