Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 12.4: El lema de N eym an-Pearson 391
y p o r tanto
í •• í L 0 d.x = í ••• J L 0 d x
c n o
c n o
E ntonces, puesto que L j ^ L 0/k d e n tro de C y L , ^ L 0/A: fuera de C, se sigue
que
/ - I 1-'"1'* i - I ‘f ,h=I ' / r * * J " I L'dx
c n o ' c n o - c n o c n o
y p or tan to que
Finalm ente,
í -
c n o '
í ••• í L x dx
c rio
J J = J J L ¡ d x + J ••• J L x dx
c cno cno1
de m anera que
£ J ••• Í L x d x + J — J L¡ <Lx = J J L¡ dx
cno cno o
J - J L , dx B I ■ J L ,d x
c
y esto com pleta la dem ostración del teorem a 12.1. La desigualdad final enuncia
que p ara la región crítica C la probabilidad de no com eter un e rro r de tip o II es
m ayor que, o igual a, la probabilidad correspondiente para cualquier o tra región
crítica de tam añ o a. (P ara el caso discreto la dem ostración es la m ism a, donde las
sum as tom an el lugar de las integrales.) T
o
E JEM P LO 12.4
U na m uestra aleatoria de tam año n de una población norm al con <r2 = 1 se va a usar
p ara p ro b ar la hipótesis nula n = p,0 contra la hipótesis alternativa ¿i = f i x, donde
> fifí. U se el lem a de N eym an-Pearson para en co n trar la región crítica m ás poten ­
te de tam año a.
Solución
Las dos verosim ilitudes son
d onde las sum as se extienden de i = 1 y i = n , y después de algunas sim plificaciones
su razón se vuelve