Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 12.6: Pruebas de razón de verosim ilitud 407
12.35 D ada una m uestra aleatoria de tam año n de una población norm al con m edia
y varianza desconocidas, encuentre una expresión para la estadística de la ra ­
zón de verosim ilitud para p ro b ar la hipótesis nula a = <r0 contra la hipótesis
alternativa cr # <r0. (Sugerencia: véase el ejem plo 10.17.)
1236 M uestras aleatorias independientes de tam año n , , n 2, . . . , y «* de k poblaciones
norm ales con m edias y varianzas desconocidas se van a usar para p ro b ar la hipótesis
nula a \ = a \ = ••• = <t \ contra la alternativa que estas varianzas no
son todas iguales
(a)
D em uestre que bajo la hipótesis nula las estim aciones de m áxim a verosim
ilitud de las m edias ¿i, y las varianzas cr* son
M, = x , y ? = 2
(=i
K ~ i )s¡
d onde n = ^ n¡, m ientras que sin restricciones las estim aciones de máxima
verosim ilitud de las m edias n , y las varianzas cr* son
= í ¿i = 1” . ~
(b)
E sto se sigue directam ente de los resultados obtenidos en la sección 10.8.
Use los resultados del inciso (a), dem uestre que la estadística d e la razón
de verosim ilitud se puede escribir com o
n
A = -1 = 1 -
' ( n¡ ~ 1 )* ?'
n¡
»./2
m2
1237 M uestre q ue para k = 2 la estadística de razón de verosim ilitud del ejercicio
12.36 se p u ed e expresar en térm inos de la razón de dos varianzas de m uestra y
que la prueba de razón de verosim ilitud puede, por consiguiente, basarse en la
distribución F.
1238 C uando probam os una hipótesis nula sim ple contra una alternativa com puesta,
se dice que una región crítica es insesgada si la función de potencia correspondiente
asum e su valor m ínim o en el valor del parám etro supuesto bajo la hipótesis
nula. E n otras palabras, una región crítica es insesgada si la probabilidad
de rechazar la hipótesis nula es m ínim a cuando la hipótesis nula es verdadera.
D ad a una observación única de la variable aleatoria X que tiene la densidad
ñ x ) =
o
1 - 0
p a ra 0 < x < 1
en cu a lq u ier o tra p a rte
D onde —1 ^ d S 1, m uestre que la región crítica x S a provee una región
crítica insesgada de tam año a para pro b ar la hipótesis nula 0 = 0 contra la hipótesis
alternativa 0 ^ 0 .