Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

102 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad
3.5 DISTRIBUCIONES M ULTIVARIADAS
A l principio de e ste capítulo definim os una variable aleatoria com o una función de
valor real definida sobre un espacio m uestral con una m edida de probabilidad, y es
lógico que se p u ed en definir m uchas variables aleatorias diferentes sobre un y el mism o
espacio m uestral. C on respecto al espacio m uestral de la figura 3.1, p or ejem plo, sólo
consideram os la variable aleatoria cuyos valores fueron los totales lanzados con un par
de dados, pero tam bién podíam os h ab er considerado la variable aleatoria cuyos valores
fueran los productos de los núm eros lanzados con los dos dados, la variable aleatoria
cuyos valores sean la diferencia de los núm eros lanzados con el d ado rojo y el dado
verde, la variable aleato ria cuyos valores sean 0 , 1 o 2 d ep endien d o del n ú m ero de
dados que salieran con 2, y así sucesivam ente. M ás real, un experim ento puede consistir
en escoger aleatoriam ente algunos d e los 345 estudiantes que asisten a una escuela
prim aria, y tal vez al director le interesen sus coeficientes de inteligencia, a la enferm era
de la escuela sus pesos, a sus profesores el núm ero de días que han estado ausentes, y
así sucesivam ente.
E n esta sección exam inarem os prim ero en el caso bivariado, esto es, en las situaciones
donde nos interesa, al m ism o tiem po, un p a r de variables aleatorias definidas en
un espacio m uestral conjunto. M ás tarde, am pliarem os este exam en al caso m ultivariado
que abarca cualquier núm ero finito de variables aleatorias.
Si X y Y son variables aleatorias discretas, escribim os com o P{X = x, Y = y).
la probabilidad que X asum irá el valor x y Y asum irá el valor y. A sí, P(X = x, Y = y)
es la probabilidad de la intersección de los eventos X = x y Y = y. C om o en el caso
univariado, d o n d e tratam os con una variable aleatoria y podíam os m ostrar las p ro b a ­
bilidades asociadas con todos los valores de X m ediante una tabla, podem os ahora, en
el caso bivariado, m ostrar las probabilidades asociadas con todos los pares de valores
de A" y y m ed ian te una tabla.
EJEM PLO 3.12
D os cápsulas se seleccionan al a z ar de un frasco q ue contiene tres aspirinas, dos
sedantes y cuatro cápsulas laxantes. Si A” y y son, respectivam ente, los núm eros de cápsulas
d e aspirina y sedantes incluidas entre las dos cápsulas que se sacaron del frasco,
encuentre las probabilidades asociadas con todos los pares posibles de valores de X y Y.
Solución
Los pares posibles son (0, 0 ), (0, 1), (1, 0 ), (1, 1), (1, 2) y (2. 0 ). P ara en co n ­
trar la probabilidad asociada con ( 1, 0 ), por ejem plo, observe que estam os in teresados
en el evento de o b ten er u na de las tres cápsulas de aspirina, ninguna de las
dos cápsulas de sed an te y. por tanto, una de las cuatro cápsulas laxantes. El núm
ero de m an eras en que esto se puede hacer es
= 12, y el núm ero
total de m an eras en las que se pued en seleccionar dos de las nueve cápsulas es
/ 9 \
I J = 36. Puesto que esas posibilidades son igualmente probables en virtud de
la suposición de que la selección es al azar, se sigue del teorem a 2.2 que la pro-