Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4 .2: El valor esperado de una variable aleatoria 137
EJEM P LO 4.9
Si la densidad de probabilidad conjunta d e X y Y está dada por
/u . y) =
- (x + 2y) para 0 < x < \, \ < y < 2
0 en cualquier otra parte
encuentre el valor esperado de g{X. Y) = X /Y i.
Solución
£ ( / í y ! ) = í í ' ^ ^ - '
L o siguiente es o tro teorem a que tiene aplicaciones útiles en trabajo subsecuente.
Es una generalización del teorem a 4.3, y su dem ostración es paralela a la dem o stración
de ese teorem a.
*
TEOREMA 4 .5
Si Cj, c2, . . . , y c„ son constantes, entonces
n
n
E 2 ........-V») = 2 ........X .)]
1= ! ¡=1
EJERCICIOS
4 1 Para ilustrar la dem ostración del teorem a 4.1, considere la variable aleatoria X ,
que asum e los valores —2, —1. 0, 1. 2 y 3 con probabilidades / ( —2 ), / ( —1),
/(O ). /(1 )» /(2 ) y f{3). Si g(X) = A’2, encuentre
(a ) 8 1 >£:- 8 i y 8 4 • l°s cuatro valores posibles de g(x)\
(b) las probabilidades P[g(X) = g,] para 1 = 1, 2. 3, 4;
(c)
4
£ [g (A ')] = 2 8¡' P[g(X) = & ]. y m uestre que es igual a
í= í
4 .2 D em uestre el teorem a 4.2 para variables aleatorias discretas.
4 .3 D em uestre el teorem a 4.3 p ara variables aleatorias continuas.
4 .4 D em uestre el teorem a 4.5 para variables aleatorias discretas.
4 .5 D adas dos variables aleatorias continuas X y Y, use el teorem a 4.4 p ara expresar
E{X) en térm inos de