Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4 .5 : Funciones generatrices de m om entos 151
(b) / ( 1 ) = 0.05, /( 2 ) = 0.20, / ( 3 ) = 0.15, / ( 4 ) = 0.45, 5) = 0.10 y
/ ( 6 ) = 0.05.
T am bién dibuje los histogram as de las dos distribuciones y advierta que m ientras
la prim era es sim étrica, la segunda tiene una “cola” en el lado izquierdo y
se dice q ue es negativam ente asim étrica.
4 3 5 El grado en el cual una distribución sea puntiaguda o aplanada, tam bién se conoce
com o la curtosis de la distribución, a m enudo se m ide por m edio de la cantidad
U se la fórm ula para /x4 obtenida en el ejercicio 4.33 para en co n trar a 4 para cada
una de las siguientes distribuciones sim étricas, de la cual la prim era es más
p untiaguda (pico m ás angosto) que la segunda:
(a) / ( —3 ) = 0.06, / ( —2 ) = 0.09, / ( — 1) = 0.10. /( 0 ) = 0.50, /( 1 ) = 0 .1 0 ,
fi2) = 0.09 y /( 3 ) = 0.06:
(b) / ( —3 ) = 0.04. f{-2 ) = 0 .1 1 ,/ ( - l ) = 0 .2 0 ,/ ( 0 ) = 0 .3 0 ,/(1 ) = 0.20,
/(2 ) = 0.11 y / ( 3 ) = 0.04.
4.36 R epita los pasos usados en la dem ostración del teorem a 4.8 para probar el teorem
a de C hebyshev para una variable aleatoria discreta X.
4 3 7 D em u estre que si X es una variab le aleatoria con la m edia n p ara la cual
f(x) = 0 p ara x < 0 , entonces para cualquier constante positiva a.
E sta desigualdad se llam a desigualdad de M arkov. y la dam os aquí principalm
ente p orque nos lleva a una dem ostración alternativa, relativam ente sim ple
del teorem a de Chebyshev.
4 .3 8 Use la desigualdad del ejercicio 4.37 para probar el teorem a de C hebyshev [Su-
g a e rc La: sustituya (A" — n)2 en vez de A'.]
4 3 9 ¿C uál es el valor m ás pequeño de k en el teorem a de C hebyshev para el q ue la
p ro b ab ilid ad de que una variable aleato ria asum a un valor e n tre /x — krr y
fx + ka sea
(a) al m enos 0.95;
(b ) al m enos 0.99?
4 .4 0 Si hacem os kv = c en el teorem a de Chebyshev, ¿qué afirm a este teorem a sobre
la probabilidad de que una variable aleatoria asum a un valor en tre n — c
y \i + c?
4 .4 1 E ncuentre la función generatriz de m om entos de la variable aleatoria discreta
X que tien e la distribución de probabilidad
p ara x = 1, 2, 3 ....
y úsela para determ inar los valores de /xj y ¿i í .