Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 5.4: La distribución binom ial 175
Demostración.
P or las definiciones 4.6 y 5.3, obtenem os
Mx{t) =
= ¿ ( " W o - « r *
*-o v*/
y por el teorem a 1.9 esta sum a se reconoce fácilm ente com o la expansión b inomial
de [de1 + ( l — y)]" = 11 + d(el — 1 )]". ▼
Si diferenciam os Mx (¡) dos veces con respecto a t, obtenem os
M'x (t) = nde'[ 1 + tí{e‘ - 1 )]"“ *
Mx {t) = n6e'[ 1 -f 0{e' - l ) ] " " 1 + n(n - \)d2e2l[l + d(e' - l ) ] " -2
= nde’i l - 0 + ri0 e ')[l + d(e' - l)]"'2
y, después de su stitu ir t = 0. o b ten em o s n\ = nO y M: = tid(\ — 6 + nd). Así.
H = nd y a2 = fi'z — n 2 = nd(\ — 6 + nO) — (n0)2 = n0(\ — 0), lo cual concuerda
con las fórm ulas dadas en el teorem a 5.2.
A p artir del trab ajo de esta sección puede parecer m ás fácil en co n trar los m o­
m entos de la distribución binom ial con la función generatriz de m om entos que evaluarlas
d irectam en te, pero debe ser evid en te q ue la diferenciación se vuelve bastante
com plicada si querem os determ inar, digam os, ^ o E n realidad, existe todavía una
form a m ás fácil de determ inar los m om entos de la distribución binom ial; se basa en su
fundón factorial generatriz de momentos, la cual se explica en el ejercicio 5.12.
EJERCICIOS
5.1 Si X tien e una distribución uniform e discreta f(x) = — para x = 1, 2 . . . . , k,
dem uestre que
(a) su m edia es n =
(b) su varianza es <r2 =
+ 1
2
k1 - 1
12
(Sugerencia: refiérase al apéndice A .)
5.2 Si X tiene una distribución uniform e discreta f{x) = — para x = 1 ,2 k,
dem uestre que su función generatriz de m om entos está dada por
-
T am bién encu en tre la m edia de esta distribución al evaluar lím M'x (t), y com ­
f-*0
pare el resu ltad o con el obtenido en el ejercicio 5.1.