Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 6 .6: La aproxim ación norm al a la distribución binom ial 223
0 = j y n = 2, 5, 10 y 25, y se puede ver que con n creciente estas distribuciones se
aproxim an al p a tró n sim étrico en form a de cam pana de la distribución norm al.
A fin de o frecer un fundam ento teórico para este argum ento, probem os prim ero
el siguiente teorem a.
t e o r e m a 6.8 Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución binom ial
con los parám etros n y 0 , entonces la función generatriz de m om entos de
V n 6 { \ - 0 )
se aproxim a a la distribución norm al estándar cuando n —> oo.
D em ostración.
Al valem os de los teorem as 4.10 y 5.4, podem os escribir
M z {t) = - 1 )]"
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donde n — nd y <r = V / j0(1 — 0). E ntonces, si tom am os logaritm os y sustituim
os en la serie de M aclaurin de e' ", obtenem os
ln A f x - M =
+ n-ln[l + e(e-/0 - l)]
= - £ + "-ln[l+<>{¿ + f ( ¿ ) + ¿ ( ¿ ) + - } ]
y, si usam os la serie infinita ln (1 + x ) = x — |x 2 + 5X3 — •••. la cual converge
para U | < 1 , para expandir este logaritm o, se sigue que
Al reunir las potencias de t, obtenem os