Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 14.3: El m étodo de los m ínimos cuadrados 455
14.3 E L M É T O D O D E L O S M ÍN IM O S C U A D R A D O S
E n las secciones anteriores hem os exam inado el problem a de regresión sólo en relación
con variables aleatorias que tienen distribuciones conjuntas. E n la práctica real,
hay m uchos problem as donde un conjunto de datos asociados en parejas dan una indicación
de que la regresión es lineal, d onde no conocem os la distribución conjunta de
las variables aleatorias en consideración pero, sin em bargo, querem os estim ar los co e­
ficientes de regresión a y (5. Los problem as de esta clase usualm ente se m anejan p o r el
método de los mínimos cuadrados, un m étodo de ajuste de curvas que a principios del
siglo xix sugirió el m atem ático francés A drien Legendre.
Para ilastrar esta técnica, considerem os los datos siguientes sobre el núm ero de horas
que 1 0 personas estudiaron para una prueba de francés y sus puntuaciones en la prueba:
Horas estudiadas
X
Puntuación en la prueba
y
4 31
9 58
10 65
14 73
4 37
7 44
12 60
22 91
1 2 1
17 84
A l hacer la gráfica de estos datos com o en la figura 14.2, nos da la im presión de que
una línea recta proporciona un ajuste razonablem ente bueno. A unque los puntos no caen
todos en una línea recta, el patrón general sugiere que la puntuación prom edio de la
prueba para un núm ero dado de horas de estudio bien puede estar relacionado con el
núm ero de horas estudiadas m ediante una ecuación de la form a Hy\x = a + Px -
U na vez q ue hem os decidido en un problem a dado q ue la regresión es aproxim a­
dam ente lineal, nos enfrentam os al problem a de estim ar los coeficientes a y /3 de los
d atos m uéstrales. E n otras palabras, nos enfrentam os al problem a de o b ten er estim a­
ciones de á y /3 tales que la línea de regresión estim ada y = á + jix provea, en algún
sentido, el m ejor ajuste posible a los datos dados.
A l d en o tar la desviación vertical de un punto de la línea p or e,, com o se indica
en la figura 14.3, el criterio de los m ínim os cuadrados sobre el cual basarem os esta
“bondad de a ju ste” requiere que m inim icem os la sum a de los cuadrados de estas desviaciones.
A sí. se nos da un c o n ju n to de d a to s asociados en p a re jas { (¿¿.y ,); i = 1,
2 n }, las estim aciones de m ínim os cuadrados de los coeficientes de regresión son
los valores á y fi p ara los cuales la cantidad
q = ¿ < . 2 = ¿ [ y , - ( o + p x , ) f
(=i i=i
es un m ínim o. A l diferenciar parcialm ente con respecto a a y fi y al igualar a cero estas
derivadas parciales, obtenem os:
a
A