Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

358 Capítulo 10: Estimación: teoría
10.91 M uestre q ue la m edia de la distribución posterior de M dada en el teorem a 10.6
se puede escribir com o
Hi = w ■x + (1 - w ) • /x0
esto es. com o una m edia p o n d erad a de x y fi0, donde
iv =
n
10.92 Si X tiene una distribución de Poisson y la distribución previa del p arám etro A
(m ayúscula griega lam bda) es una distribución gam m a con los parám etros a y
/3, m uestre que
(a) la distribución posterior de A dada por X = x es una distribución gam m a
con los parám etros a + x y
i» + *
O
0 o
(b)
la m edia de la distribución p osterior de A es
_ f l( a + x )
A l p + 1
APLICACIONES
10.93 Lo producido en una cierta línea de producción se verifica diariam ente m ediante
la inspección de 100 unidades. D u ran te un periodo largo de tiem po, el p ro ­
ceso ha m an ten id o un rendim iento de 80 p o r ciento, esto es. u na proporción
defectuosa de 2 0 por ciento, y la variación de la proporción defectuosa de día
a día se m ide por una desviación están d ar de 0.04. Si en un cierto día la m uestra
contiene 38 unidades defectuosas, encuentre la m edia de la distribución p o s­
terio r de 0 com o un estim ado de la proporción defectuosa de ese día. Suponga
que la distribución previa de 0 es una distribución beta.
10.94 Los registros de una universidad (reunidos duran te m uchos años) m uestran que
en prom edio 74 p or ciento de todos los estudiantes de prim er ingreso tiene IQ 's
de p o r lo m enos 115. P or supuesto, el porcentaje varía un poco año con año, y
esta variación se m ide por una desviación están d ar de 3 por ciento. Si una verificación
m uestral de 30 alum nos de prim er ingreso q ue e n tra n a la universid
ad en 1998 m ostró que sólo 18 de ellos tenían IQ 's de p or lo m enos 115, estim e
la verdadera proporción de estudiantes con IQ 's de p o r lo m enos 115 en esa g e ­
neración de prim er ingreso, use
(a)
(b)
(c)
sólo la inform ación previa;
sólo la inform ación directa;
el resultado del ejercicio 10.89 para com binar la inform ación previa con la
inform ación directa.
10.95 C on respecto al ejem plo 10.20, encuentre P (712 < M < 7 2 5 1J = 692).
10.96 U n profesor de historia está p rep aran d o un exam en final que se adm inistrará a
un grupo m uy grande de estudiantes. Su creencia acerca de la calificación pro-