Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 7.4: Técnica de transformación: varias variables 253
para 0 < y2 < 1; en cualquier otra parte. h(y2) = 0. A dvierta que este resultado
concuerda con el obtenido en la página 251. ▲
EJEM PLO 7.13
Si la densidad conjunta de A', y X 2 está dada por
fix i*xi) =
p a ra 0 < jrt < 1, 0 < 1
0 en cu a lq u ier o tra parte
encuentre
(a) la densidad conjunta de Y = A", + X 2 y Z = X 2;
(b ) la densidad m arginal de Y.
O bserve que en el ejercicio 7.7 se le pidió que trabajara el m ism o problem a m ediante
la técnica de la función de distribución.
Solución
(a ) Al despejar y = x x + x 2 y z — x 2 para .i, y x 2. obtenem os *1 = y — z y
x 2 = z. de m anera que
J =
1 - 1
0 1
= 1
D eb id o a que esta transform ación es unívoca, al re p re sen ta r la región
0 < x t < 1 y 0 < x 2 < 1 en el plano xtx2 en la región z < y < z + 1
y 0 < z < 1 en el plano yz (véase la figura 7.7), podem os usar el teorem a
7.2 y obtenem os
g(.v, z) = 1 * 11 1 = 1
para z < y < Z + 1 y ü < z < 1; en cualquier o tra parte g(y, z ) = 0.
0 z = 0 1 2
Figura 7.7 Espacio m uestra l tra n sfo rm a d o para el e je m p lo 7.1 3.