Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8 .4: La distribución ji cuadrada 281
D os propiedades adicionales de la distribución ji cuadrada se dan en los dos teo ­
rem as q u e siguen; se pedirá al lector q ue los dem uestre en los ejercicios 8.35 y 8.36.
t e o r e m a 8.9 Si A j, X 2, . . . , X„ son variables aleatorias independientes q ue tienen
distribuciones ji cuadrada con »*,, v2>. . . , vn grados de libertad, entonces
y - ¿ * ,
«-i
tiene la distribución ji cuadrada con v x + v2 + *" + v„ grados de libertad.
t e o r e m a 8.10 Si A', y X 2 son variables aleatorias independientes, AT, tiene la
distribución ji cuadrada con v, grados de libertad, y X¡ + X 2 tiene la distribución
ji cuadrada con v > grados de libertad, entonces X 2 tiene la distribución
ji cuadrada con v — v x grados de libertad.
La distribución ji cuadrada tiene m uchas aplicaciones im portantes, varias de las
cuales se exam inan en los capítulos 10 al 13. Las m ás destacadas, son aquellas basadas
directa o indirectam ente en el siguiente teorem a.
TEOREMA 8.11 Si X y S 2 son la m edia y la varianza de una m uestra aleatoria
de tam año n de una población norm al con la m edia ¡x y la desviación estándar ir,
entonces
1. X y S 2 son independientes;
2. La variable aleato ria —-----T ^ ~ l *ene distribución ji cuad rad a con
n — 1 grados de libertad.
D em ostración. Puesto que una dem ostración detallada d e ja p a rte 1 reb a­
saría el alcance de este libro, supondrem os la independencia de X y S 2 en nuestra
dem ostración de la p a rte 2. A dem ás de las referencias a las dem ostraciones
de la parte 1 al final de este capítulo, el ejercicio 8.46 bosqueja los pasos principales
de una dem ostración un poco m ás sim ple basada en la idea d e una función
generatriz d e m om entos condicional, y el ejercicio 8.45 pedirá al lector que d e­
m uestre la independencia de X y S 2 para el caso especial donde n = 2.
P ara dem o strar la parte 2, em pezam os con la identidad
¿ (*, - nf = ¿ (*, - X)2+ n(X - nf
/-I
i»l
que se p ed irá al lector verifique en el ejercicio 8.37. A hora, si dividim os cada térn
m ino en tre o-2 y sustituim os (n — 1 )S 2 en vez de ^ ( X¡ — A ')2, se sigue que