Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección b.ó: La distribución f 287
D em ostración.
La densidad conjunta de U y V está dada por
1 1 , M 1 *'2 , l!
f(u,v) = 7 - T - B 7 e 5 ---------- T T ~ \ 'V' e 2
2‘,,/2r í y ) 2^ ' 2 r |
i )
2<-.+^V2r
( * M ? )
*>] , *-2 , M+«f
2 2 2
u ‘ i r e ¿
para u > 0 y v > 0. y f( u . v ) = 0 en cualquier otra parte. E ntonces, para usar
la técnica del cam bio de variable de la sección 7.3, despejam os
f= u/v1
v / v 2
para u, y obtenem os u = — • v f y p or tanto = — • v. Así. por el teorem a 7.1,
v2 ‘ aj i>2
la densidad conjunta de F y V está dada por
( 0 ”
g ( f ,v ) = --------------------------------------------v T ~~
2(»| +riV2 P f _1 J r í — J
para / > 0 y « > 0, y g (f, v ) = 0 en cualquier otra parte. A hora, elim inam os v
por integración al hacer la sustitución w = ^ ^
+ 1 ^ , y finalm ente obtenem os
y ( v , + v 2
” 1 / *'1 / v —| (*”1+*-2)
/ ( l ’\ V r i - ' f , . "i A
para / > 0 , y g ( f) = 0 en cualquier o tra parte.
En vista de su im portancia, la distribución F se ha tabulado extensam ente. Por
ejem plo, la tabla V I contiene valores de 2 para a = 0.05 y 0.01, y para diversos
valores de y v2, donde £ „2 es tal que el área a su derecha bajo la curva de la distribución
F con v t y v2 grados de libertad (véase la figura 8.3) es igual a a . E sto es
£ es tal que
P (F a
= o
Las aplicaciones del teorem a 8.14 se presentan en problem as en los que nos in teresa
com parar las varianzas trf y a \ de dos poblaciones norm ales; p o r ejem plo, en proir?
. .
blem as en los q ue querem os estim ar la razón —2 o quizá p ro b ar si a , = a 2. B asam os
(Tj