Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales
6.46 Si A’ es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con la m edia n y la
desviación estándar er, encuentre la función generatriz de m om entos de Y = X — c,
donde c es una constante, y úsela para volver a trabajar con el ejercicio 6.45.
6.47 U se los resultados del ejercicio 6.45 para dem o strar que a 3 = 0 y ar4 = 3 para
distribuciones norm ales, donde a 3 y a 4 son com o se definieron en los ejercicios
4.34 y 4.35.
6.48 Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución norm al con la m edia
fx y la desviación estándar a , use la tercera parte del teorem a 4.10 y el teorem a
6 .6 para d em o strar que la función generatriz de m om entos de.
es la función generatriz de m om entos de la distribución norm al estándar. A dvierta
que, ju n to con los dos teorem as en la página 224, esto dem uestra el teorem a 6.7.
6.49 Si X es u n a variable a le a to ria q ue tiene la distribución norm al e stá n d a r y
Y = X 2, dem uestre que cov(Ar, Y ) = 0 aun cuando A* y y no son evidentem ente
independientes.
6.50 U se la expansión en la serie de M aclaurin de la función generatriz de m om entos
de la distribución norm al están d ar para dem ostrar que
(a)
(b) ti, =
n , = 0 cuando r es im par;
r!
------ —— cuando r es par.
6.51 Si hacem os K x (t) = In el coeficiente de — en la serie de M aclaurin de
K x (t) se llam a el résim o acum ulante, y se d en o ta con k,. A l igualar coeficientes
de potenciales iguales, dem uestre que
(a)
(b)
k2 = fi2:
k3 = ¿i3;
(c) k4 = - 3
6 ^ 2 C on resp ecto al ejercicio 6.51, m u estre que p a ra las distribuciones norm ales
k 2 = <r2 to d o s los dem ás acum ulantes son cero.
6 ^ 3 Pruebe que si A" es variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con el
parám etro A y A -*■ oo, entonces la función generatriz de m om entos de
esto es, la de la variable aleatoria de Poisson estandarizada, se aproxim a a la
función generatriz de m om entos de la distribución norm al estándar.
6.54 D em uestre que cuando a - * oo y p perm anece constante, la función generatriz
de m om entos de una variable aleatoria gam m a estandarizada se aproxim a a la
función generatriz de m om entos de la distribución norm al estándar.