Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

282 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo
E n c u an to a los tres térm inos de esta identidad, sabem os por el teorem a 8.8
que la que está en el lado izquierdo de la ecuación es una variable aleatoria que
tiene la distribución ji cuadrada con n grados de libertad. T am bién, según los te o ­
rem as 8.4 y 8.7, el segundo térm ino en el lado derecho de la ecuación es una variable
a le a to ria q ue tiene la distribución ji cuad rad a con 1 g rad o d e libertad.
A hora, p u esto que se supone q ue X y S 2 son independientes, se sigue que los dos
térm inos en el lado derecho de la ecuación son independientes, y concluim os por
el teorem a 8 .1 0 que ——
es una variable aleatoria independiente que tiene
una distribución ji cuadrada con n — 1 grados de libertad.
▼
Puesto que la distribución ji cuadrada se presenta e n m uchas aplicaciones im portantes,
se han tabulado extensivam ente las integrales de su densidad. La tabla V contiene
los valores d e x l. * para a = 0.995, 0.99, 0.975, 0.95, 0.05, 0.025, 0.01 y 0.005, y v =
1, 2, . . . , 30, donde x l. y es tal que el área a su derecha bajo la curva ji cuadrada con v grados
de libertad (véase la figura 8.1) es igual a a . E sto es, x l . , es tal que si X es una variable
aleatoria que tiene la distribución ji cuadrada con v grados de libertad, entonces
P(X a xl.) = a
C uando v es m ayor que 30, no se puede usar la tabla V y las probabilidades referentes
a las distribuciones ji cuadrada usualm ente se aproxim an con las distribuciones norm a­
les, com o en el ejercicio 8.40 u 8.43.
F ig u ra 8.1
Distribución ji cuadrada.
E JEM P LO 8.2
S upongam os que el espesor de una parte usada en un sem iconductor es su dim ensión
crítica y que el proceso de fabricar estas p artes se considera que está bajo control si la
variación real e n tre el espesor de las partes está dada p o r una desviación están d ar no
m ayor que a = 0.60 m ilésim as de pulgada. P ara m an ten er un control sobre el p roceso,
periódicam ente se tom an m uestras aleatorias de tam año n = 2 0 y se considera que