Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 4: Esperanza matemática
donde X y Y son continuas.
00 00
MÍ., = E ( X 'r ) = f f x W -f(x ,y )d x d y
J-oo J -O í.
En el caso discreto, la doble sum a se extiende en el intervalo conjunto com pleto de las
dos variables aleatorias. A dvierta que 0 = E(X)y el cual denotam os aq u í con nx ,
y que /¿ó j = E( Y), el cual denotam os aquí con /i y.
A náloga a la definición 4.4, definam os ahora los m om entos producto alrededor
de sus m edias respectivas.
d e f in ic ió n 4.8 E l ré sim o y aisim o m o m e n to s p ro d u c to a lre d e d o r d e la m ed ia
de las variables aleato rias X y Y. d en o ta d a s por fxr s, e s el v alo r esp era d o de
{X — /i* ) r( y — ¿¿y)1; sim bólicam ente.
= E[{X - n x)'{Y - tiy ) ’}
= *x)'{y - M»-)1 ’K X'y)
* y
para r = 0, 1, 2 ,... y s = 0. 1, 2 ,... cuando X y Y son discretas, y
tí,., = E[(X - »X)’(Y - ,m,Y }
oo
oc
cuando X y Y son continuas.
= í í {x - HxY{y - HyY 'A x, y) dx d y
J -oc J —oc
E n estadística, f i ] , es de especial im portancia porque es indicativa de la relación,
si es que la hay, e n tre los valores X y Y\ así, se le da un sím bolo especial y un nom bre
especial.
d e f in ic ió n 4.9 ¿i, , se llam a la covarianza de A' y y . y se d e n o ta con crAT,
cov(Af, Y) o C(X, Y).
O bserve que si existe una probabilidad alta de que valores grandes de X vayan con valores
grandes de y y valores pequeños de X con valores pequeños de Y, la covarianza
será positiva; si hay una alta probabilidad de que valores grandes de X vayan con valores
pequeños de Y, y viceversa, la covarianza será negativa. E s en este sentido que la
covarianza m ide la relación, o asociación, en tre los valores de A' y y.