Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

516 Capítulo 15: Análisis de la varianza
donde x i.. es la m edia de las observaciones del i’ésim o valor del prim er tratam ien ­
to, x.¡. es la m edia de elyésim o valor del segundo t r a t a m i e n t o , e s la m edia de
la résim a réplica, x ti. es la m edia del /ésim o y yésimo valores de los dos tratam ien ­
tos (prom ediados sobre las réplicas) y x... es la gran m edia de todas las m m o b ­
servaciones.
Demostración.
Para p ro b ar el teorem a, prim ero escribim os la identidad
Xyr ~ x... = (l¿.. - Je...) + ( x .f. - x ...) + (Je.., - x...)
+ (x,y. - X ,.. - X . t. + X ...) + ( x ijk - X¡J. - X .., + X .. .)
C uando elevamos al cuadrado cada lado de esta identidad y sumamos sobre i,j y r, se
puede m ostrar que todos los térm inos con productos cruzados suman cero. Los detalles
de la demostración de este teorem a se dejan al lector en el ejercicio 15.25.
Análoga a la clasificación en dos sentidos sin interacción, la expresión en el lado izquierdo
de la identidad del teorem a 15.5 es la sum a de cuadrados total, SST, y los dos prim
eros térm inos en la derecha son la sum a de cuadrados de los tratam ientos, que ahora
denotarem os con SSA y SSB. El tercer térm ino en el lado derecho es la sum a de cuadrados
para las réplicas, SSR, el cuarto térm ino es la sum a de cuadrados para las interacciones,
SSL y el térm ino final es la nueva sum a de cuadrados de los errores, SSE. Así,
SST = SSA + SSB + SSR + SSI + SSE
y se puede m ostrar que si f/j,'1, . . . , H q 1 son verdad, las cantidades
SSA
( k - l)a2 M SA
SSE
(m — l)(n¿ — l)cr2
SSB
M S E
(n - 1W M SB
SSE
( m — 1 ) (n k — l)tr2
M SE
SSR
(m — l)o-2 M SR
SSE
(m — l)(n/c — l)er2
SSI
M SE
(n - 1 )(* - i y M SI
SSE
(m — 1 )(n& — l j a 2
M SE
todas tienen distribuciones E c o n , respectivam ente, k — 1, n — 1, m — 1 y (k — l)
(/i — 1) grados de libertad en el num erador y (m — l)(nA: — 1) grados de libertad en
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