Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

314 Capítulo 9: Teoría de decisiones
K(<*3. *2) = \-L{a2,e2) + YL{a2,e2) = y o + ~*o = o
/?(rí4,e,) = i-L(fl2,e,) + o*L(«It0,) = i-i + o-o = 1
R ( d 4. 0 2) = y L { a 2,0 2) + y L { a „ 0 2) = 1 - 0 + | - 1 = |
donde los valores de la función de pérdida se obtuvieron de la tabla en la página 312.
H em os llegado así al siguiente ju ego de dos personas de sum a cero 4 X 2 en el
que los resultados son los valores correspondientes de la función de riesgo:
Jugador A
(E l estadístico)
di d i d 3 d<
Jugador B
(Naturaleza)
*1
0?
0 0 1 1
1 1
1 0
2 2
C om o se puede ver m ediante una inspección, d 2 está dom inada por d x y d A está dom inada
p o r d 3, así que d 2 y se pueden descartar, en la teoría de decisiones decim os que son
inadmisibles. En realidad, esto no debe ser una sorpresa puesto que en d 2 así com o en d t
aceptam os la alternativa o, (que la m oneda tenía dos caras) aun cuando salió cruz.
E sto nos d e ja con un ju eg o de dos personas de sum a cero 2 X 2 en d onde el
ju g ad o r A tiene q u e escoger entre d , y d 3. Se puede verificar fácilm ente que si la N a­
turaleza se considera un oponente m alévolo, la estrategia óptim a es escoger aleatoriam
ente entre rí, y d y con probabilidades respectivas de 5 y 5 , y el valor del ju eg o (el
riesgo esperado) es un ^ de un dólar. Si la N aturaleza no se considera un o ponente m a­
lévolo. se tendrá q u e usar algún o tro criterio p ara escoger en tre d\ y d 3, esto se exam i­
n ará en la sección que sigue. Incidentalm ente, form ulam os este problem a con respecto
a una m oneda de dos caras y a una m oneda norm al, p e ro igualm ente podíam os h ab erlo
form ulado en form a m ás abstracta com o un problem a de decisión en el q ue tenem os
q ue decidir, con base en una sola observación, si una variable aleatoria tiene la distribución
de B em oulli con el p arám etro d = 0 o el parám etro 0 = ¿ .
C om o ilustración adicional a los conceptos de función de pérd id a y función de
riesgo, considerem os el siguiente ejem plo, en el cual la N aturaleza al igual que el estadístico
tienen un continuo de estrategias.
E JE M P L O 9.7
U na variable aleatoria tiene la densidad uniform e
/(* ) =
ri
0
o
p a ra 0 < x < 0
e n c u a lq u ier o tra p a rte