Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 5 .7: La distribución de Poisson 195
5.53 A l diferenciar con respecto a A las expresiones de am bos lados de la ecuación
M . "
j = 0
k*e~k
derive la siguiente fórm ula recursiva para los m om entos alred ed o r de la m edia
de la distribución de Poisson:
P r + l ~ A
para r = 1, 2. 3 ,... . T am bién, use esta fórm ula recursiva y el hecho que /x0 = 1
y /x, = 0 p a ra encontrar /x2, /x3 y M-»- >’ verifique la fórm ula dada p ara a 3 en el
ejercicio 5.52.
5.54 U se el teo re m a 5.9 p ara en c o n trar la función generatriz de m om entos de
Y = X — A, donde X es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson
con el parám etro A, y úsela para verificar que = A.
APLICACIONES
5.55 Si la probabilidad es 0.75 de q ue una persona creerá un rum or acerca de los d e­
litos de cierto político, encuentre las probabilidades de que
(a)
la octava persona que escucha el rum or será la quinta en creerlo;
(b ) la décim a quinta persona que escuche el rum or será la décim a en creerlo.
5.56 Si las probabilidades de tener un hijo o una hija son am bas 0.50, encuentre las
probabilidades de que
(a)
(b)
(c)
el cu a rto niño de una fam ilia sea el prim er hijo varón;
el séptim o niño de una fam ilia sea su segunda hija;
el décim o niño de una fam ilia sea su cuarto o q u into hijo varón.
5.57 U na experta tirad o ra certera falla en d ar en el blanco cinco p or ciento de las
veces. E ncuentre la probabilidad de que fallará en d ar en el blanco p o r segunda
vez en el décim o quinto tiro, use
(a)
la fórm ula para la distribución binom ial negativa;
(b) el teo rem a 5.5 y la tabla I.
5.58 A l grabar un com ercial de televisión, la probabilidad es 0.30 de que cierto acto
r dirá correctam en te sus líneas en una tom a cualquiera. ¿C uál es la pro b ab i­
lidad de q ue dirá correctam ente sus líneas por prim era vez en la sexta tom a?
5.59 E n una “prueba de tortura*’ un apagador de luz se prende y se apaga hasta que
falla. Si la probabilidad es 0.001 de que el apagador falle en cualquier m om ento
en que se prenda o se apague, ¿cuál es la probabilidad de que el apagador no falle
durante las prim eras 800 veces que se prende o se apaga? Suponga que se satisfacen
las condiciones requeridas por la distribución geom étrica y use logaritmos.
5.60 A dapte la fórm ula del teorem a 5.5 de m anera que se pueda usar para expresar
probabilidades geom étricas en térm inos de probabilidades binom iales, y use la
fórm ula d e la tabla I para
(a) verificar el resultado del ejem plo 5.5;
(b) reh acer el ejercicio 5.58.