Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 13.3: Pruebas concernientes a diferencias entre medias 421
Si no se p u ed e sostener la suposición de varianzas iguales en un problem a de esta
clase, hay varias posibilidades. U n a relativam ente sim ple consiste en form ar aleato ­
riam ente parejas d e los valores en las dos m uestras y después considerar sus diferencias
com o u na m uestra aleatoria de tam año «, o n 2. la que sea m ás pequeña, de una población
norm al que, b ajo la hipótesis nula, tiene la m edia p = 5. D espués probam os esta
hipótesis nula contra la alternativa apropiada por m edio de los m étodos de la sección
13.2. É sta es una buena razón para ten e r n , = n 2, pero existen técnicas alternativas para
m anejar el caso donde n, ^ n 2 (una de éstas, la prueba Smith-Satterthwaite, se m enciona
en las referencias al final del capítulo).
H asta ahora hem os lim itado nuestro exam en a m uestras aleatorias q ue son independientes,
y los m étodos que p resentam os en esta sección no se p u eden usar, por
ejem plo, para decidir con base en los pesos “antes y después” si cierta dieta es realm
ente eficaz o si las diferencias observadas en tre los 1 0 prom edio de m aridos y sus
esposas son realm ente significativas. E n am bos ejem plos las m uestras no son independientes
porque los dato s están realm ente asociados p o r parejas. U na form a com ún de
m anejar esta clase d e problem as es proceder com o en el párrafo anterior, esto es, tra ­
bajar con las diferencias en tre las parejas de m edidas u observaciones. Si n es grande,
podem os entonces usar la prueba descrita en la página 415 para probar la hipótesis nula
fi, — fi2 = 8 contra la alternativa apropiada, y si n es pequeña, podem os usar la prueba
/ descrita en la página 417, siem pre y cuando las diferencias se puedan considerar
com o una m uestra aleatoria de una población norm al.
EJERCICIOS
1 3.1 D ada una m uestra aleatoria de tam año n de una población norm al con varianza
conocida tr2, dem uestre que la hipótesis nula p = fi# se puede p ro b ar contra
la hipótesis alternativa fi ^ fi0 con el uso de un criterio de una cola que se
base en la distribución ji cuadrada.
1 3 .2 Suponga q ue una m uestra aleatoria de una población norm al con la varianza
conocida o2 se va a usar para p ro b ar la hipótesis nula p = p^ contra la hipótesis
alternativa p = fi,, donde /x¡ > fi0, y q ue las probabilidades de erro res de
tipo I y tip o II van a ten e r los valores preasignados a y /3. D em uestre que el ta ­
m año req u erid o de la m uestra está dado por
n = ^ { z a 4- l e ?
(Mi “
1 3 .3 C on respecto al ejercicio anterior, encuentre el tam año requerido de la m uestra
cuando a = 9, fq, = 15, p x = 20, a = 0.05 y /3 = 0.01.
1 3 .4 Suponga que m uestras aleatorias de tam año n de dos poblaciones norm ales con
varianzas conocidas irj y se van a usar p ara p ro b ar la hipótesis nula fi, —
fi2 = 5 contra la hipótesis alternativa fi, — p 2 = 8 ' y que las probabilidades de
erro res de tipo I y tipo II van a ten er los valores preasignados a y f3. Dem uestre
que el tam año requerido de la m uestra está dado por