Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 9 .3 : Juegos estadísticos 313
que debe recordar al lector del esquem a de la página 302. A hora, 0, es el “estado de
la N aturaleza” que la m oneda tenga dos caras, 02 es el “estado de la N aturaleza” que la
m oneda esté balanceada con cara de un lado y cruz en el otro, <j, es la decisión del estadístico
que la m oneda tenga dos caras y a2 es la decisión del estadístico que la m oneda
está balanceada con cara de un lado y cruz en el otro. Los elem entos en la tabla son
los valores correspondientes de la función de pérdida dada.
A hora considerem os tam bién el hecho que nosotros (jugador A, o el estadístico)
sabem os lo que sucedió en el lanzam iento al aire de la m oneda; esto es, sabem os si una
variable aleatoria X ha asum ido el valor de x = 0 (cara) o x = 1 (cruz). Puesto que
querem os hacer uso de esta inform ación al escoger en tre o, y a2, necesitam os una función.
una función de decisión, que nos diga qué acción tom ar cuando x = 0 y qué acción
tom ar cuando x = 1. U na posibilidad es escoger a, cuando x = 0 y a2 cuando x = 1,
y podem os expresar esto sim bólicam ente si escribim os
cu a n d o x - 0
cu a n d o x = 1
o m ás sim plem ente, (0 ) = a , y tí, (1 ) = a2. El propósito del subíndice es distinguir
esta función de decisión de otras, por ejem plo, de
d 2(0 ) = a x y d 2( 1 ) = a,
que nos dice que escojam os a, sin im portar el resultado del experim ento, de
d}{ 0 ) = a2 y < /,(!) = a2
que nos dice que escojam os a2 sin im portar el resultado del experim ento, y de
d t (0 ) = a2 y </4( l ) = a,
que nos dice que escojam os a 2 cuando x = 0 y cuando x = 1 .
Para co m p arar los m éritos de todas estas funciones de decisión, determ inem os
prim ero las pérdidas esperadas a las cuales nos llevan debido a las diversas estrategias
de la N aturaleza, esto es. los valores de la función de riesgo
donde la esperanza se tom a con respecto a la variable X . P uesto que las probabilidades
para x = 0 y x = 1 son, respectivam ente, 1 y 0 para y, y 5, y 2 Para #2* o b ten e­
mos
R ( d |,0,) = 1 -L(a,,0,) + = 1 - 0 + 0-1 = 0
R(d,. 9.) = L 9. ) + L /.( « ,.» ,) = i - 1 + i - 0 = X-
R(d2,fíi) = 1 • 0 ,) + 0 • L(o,, 0 ,) = 1 - 0 + 0 - 0 = 0
R(d3,9¡) = 1 -£.(02. 0 ,) + O-¿(o2,0,) = 1-1 + 0-1 = 1