Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 2 .8: Teorem a de Bayes 63
B2,..., Bk). R equiere el siguiente teorem a, algunas veces llam ado la regla de la probabilidad
total o la regla de eliminación.
TEO R EM A 2 .1 2 Si los eventos Bx. B: , . . . , y Bk constituyen una partición del espacio
m uestral S y P{ B¡) ^ 0 para i = 1 ,2 k. entonces para cualquier evento
A en S
P(A) = 'S.p M - p í a Ib ,)
1=1
C om o fue definido en la nota al pie de la página 10, las B constituyen una partición del
espacio m uestral si son m utuam ente excluyentes por parejas y si su unión es igual a S.
U na dem ostración form al del teorem a 2.12 consta, esencialm ente, de los m ism os pasos
del ejem plo 2.25, y se le deja al lector en el ejercicio 2.74.
EJEM PLO 2.26
Los m iem bros d e una em presa de consultoría ren tan autom óviles de tres agencias de
renta de autom óviles: 60% de la agencia 1.30% de la agencia 2, y 10% de la agencia 3.
Si 9% de los autom óviles de la agencia 1 necesita una afinación, 20% de los autos de
la agencia 2 necesitan una afinación, y 6% de los autos de la agencia 3 necesitan una
afinación, ¿cuál es la probabilidad de que un autom óvil rentado, entregado a la em p resa.
necesite una afinación?
Solución
Si A es el evento de que el automóvil necesita una afinación,y Bx, B-, y By son los eventos
de que el autom óvil venga de las agencias 1, 2 o 3, tenem os P{BX) = 0.60,
P(B2) = 0.30 ,P{B3) = 0.10, />(>% | fi,) = 0 .0 9 ,P (> l|fi: ) = 0 2 0 y P ( / l|f i O = 0.06.
Al sustituir estos valores en la fórmula del teorem a 2.12 obtenem os
P{A) = (0.60) (0.09) + (0.30) (0.20) + (0.10)(0.06)
= 0.12
Así, 12% d e todos los autom óviles rentados entregados a esta em presa necesitarán
una afinación. ▲
C on resp ecto al ejem plo precedente, supongam os que nos interesa la siguiente
pregunta: si un autom óvil ren tad o entregado a la em presa de consultoría necesita una
afinación, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido de la agencia de renta 2? Para
responder a preguntas de esta clase, necesitam os el siguiente teorem a, llam ado el teorema
de Bayes:
t e o r e m a 2 .1 3 Si BX,B 2, . . . , Bk constituye una partición del espacio m uestral S
y P(B,) ^ 0 para i = 1 ,2 k, entonces para cualquier evento A en S tal que
P(A) * 0