Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

108 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad
.1 - i
F(x
(s + t)ds di = ^ x{x + 1)
■ - - 1 1
y para .t > 1 y y > 1 (R egión IV de la figura 3.10), obtenem os
.1 , i
F(x
■ - - 1 1
(s + t)ds dt = 1
Puesto que la función de distribución conjunta es continua en todas partes, los
lím ites en tre dos regiones cualquiera se pueden incluir en cualquiera de los dos y
podem os escribir
(0
p a ra r áOoy áO
2 *y(* + y)
p a ra 0 < * < 1, 0 < y < 1
F{x, y) =
\y(y + i)
p a ra x £ 1.0 < y < 1
\x { x + 1)
p a ra 0 < x < l j 2 1
p a ra x ^ 1, y = 1
a
EJEM PLO 3.17
E ncuentre la densidad de probabilidad conjunta de las dos variables aleatorias X y Y
cuya función de distribución conjunta está dada por
F(x
(1 — e * ) ( 1 — e y) p a ra x > 0 y y > 0
0 en cu a lq u ier o tra p a rte
T am bién use la densidad de probabilidad conjunta para determ inar
Solución
P(\ < X < 3 ,1 < Y < 2).
Puesto que la diferenciación parcial nos da
d2
dx dv
F(x, y ) = e~{x+y)
para x > 0 y y > O y O e n cualquier o tra p arte, encontram os que la densidad de
probabilidad conjunta de X y Y está dada por
f(x
e-(*+y) p a ra x > 0 y y > 0
0 en cu a lq u ier o tra p a rte
Así, la integración nos da