Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 5.7: La distribución d e Poisson 187
F inalm ente, si hacem os n —►oo m ientras x y A perm anecen fijas, encontram os que
<>■- i )
n r -
y, por tan to , que la distribución lím ite se vuelve
o - r ~
\ * e ~ Á
p ( x A) = — j— p a ra x = 0, 1, 2 ,...
d e f in ic ió n 5.7 U na variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson y se
conoce com o una variable aleatoria de Poisson si y sólo si su distribución de p ro ­
babilidad está dada por
A‘ e~*
p(x; A) = — — p a ra x = 0. 1, 2 ,...
A sí, en el lím ite cuando n -> oo, o -* 0, y nd = A perm anece constante, el núm e­
ro de éxitos es u na variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con el p a ­
rám e tro A. E sta distribución se llam a así en h o n o r al m atem ático francés Sim eón
Poisson (1781 - 1840). E n general, la distribución de Poisson brindará una buena apro ­
xim ación a las probabilidades binom iales cuando n S 20 y 8 ^ 0.05. C uando n ^ 100
y nd < 1 0 , la aproxim ación generalm ente será excelente.
Para ten e r una idea sobre la cercanía de la aproxim ación de Poisson a la distribución
binom ial, considere la im presión de com putadora de la figura 5.4, que m uestra,
una arriba de la o tra, la distribución binom ial con n = 150 y 8 = 0.05 y la distribución
de Poisson con A = 150(0.05) = 7.5.
EJEM PLO 5.8
U se la figura 5.4 para determ in ar el valor de x (desde 5 hasta 15) p ara el cual el e rro r
es el m ás grande cuando usam os la distribución de Poisson con A = 7.5 para aproxim
ar la distribución binom ial con n = 150 y 8 = 0.05.
Solución
C alculam os las diferencias correspondientes a x = 5 ,.r = 6 , ...,x = ^ .o b t e n e ­
m os 0.0006, -0 .0 0 1 7 , -0 .0 0 3 4 , -0 .0 0 3 7 , -0 .0 0 2 7 , - 0 .0 0 1 1 , 0.0003, 0.0011,
0.0013, 0.0011 y 0.0008. Así, el m áxim o e rro r (num éricam ente) es -0 .0 0 3 7 , y corresponde
a x = 8 . a