Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

316 Capítulo 9: Teoría de decisiones
9 .5 EL C R IT E R IO M IN IM A X
Para sim plificar el trabajo en un problem a de esta clase, a m enudo podem os usar
el principio igualador, según el cual (en condiciones bastante generales) la función de
riesgo de la regla de decisión m inim ax es una constante; p o r ejem plo, nos dice que en
el ejem plo 9.8 la función de riesgo no debe depender del valor de 6.t P ara justificar este
principio, al m enos en form a intuitiva, observe que en el ejem plo 9.6 la estrategia mi­
Si aplicam os el criterio m inimax a la ilustración de la sección 9.3, que trata de la m oneda
ya sea de dos caras o balanceada con cara en un lado y cruz en el otro, encontram os
de la tabla en la página 314 con d2 y dx elim inadas que para el riesgo m áxim o es 5 , y
para d 3 el riesgo m áxim o es 1, y. por tanto, el que minimiza el riesgo m áxim o es d t .
E JEM P LO 9.8
bre la base de la variable aleatoria X , el núm ero observado de éxitos en n intentos,
cuando la función de decisión tiene la form a
donde ay b son constantes, y la función de pérdida está dada por
Use el criterio m inim ax p ara estim ar el p arám etro d de una distribución binom ial sodonde
c es una constante positiva.
Solución
El problem a es en co n trar los valores de a y b que m inim izarán la función de riesgo
correspondiente después q ue se ha m axim izado con respecto a 6. D espués de
to d o , tenem os contro l sobre la elección d e a y b, en tan to que la N atu raleza
(nuestro supuesto oponente) tiene control sobre la elección de 6.
Puesto que E(X) = nO y E(X2) = nd(\ — 8 + nd), com o vimos en la página
172. se sigue que
y, al usar el cálculo, podem os en co n trar el valor de 6 que m axim iza esta ex p resión
y entonces minim iza R(d,6) para este valor de 6 con respecto a a y b. E sto
no es especialm ente difícil, pero se deja al lector en el ejercicio 9.23 ya que implica
ciertos detalles algebraicos tediosos.
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t L as co n d ic io n e s ex actas e n las cuales el p rin cip io ig u alador e s v álido se e n c u e n tra n e n e l lib ro
d e T . S. F erg u so n q u e e stá e n las referen cias al final d e este c ap ítu lo