Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 1.3: Coeficientes binomiales 13
M ás generalm ente, si n es un entero positivo y m ultiplicam os
+ y j 1térm ino
p or térm ino, el coeficiente de xn~'yr es
el núm ero de m aneras en que podem os escoger
r factores que provean las y . E n consecuencia, nos referim os a ^ y com o un coeficiente
binom ial. A h o ra podem os enunciar el siguiente teorem a.
TEOREMA 1.9
( - + >-r = í ( " V - y
r =0 v /
p a r a c u a lq u ie r e n t e r o p o s itiv o n
(P ara los lectores que no estén fam iliarizados con la notación £ en el apéndice A se
da una breve explicación.)
A m enudo se puede sim plificar el cálculo de los coeficientes binom iales al utilizar
los tres teorem as siguientes.
t e o r e m a 1.10 P ara cualesquier enteros positivos n y r = 0, 1. 2 ,.... n ,
Demostración. Podríam os argum entar que cuando seleccionam os un subconjunto
de r objetos de un conjunto de n objetos diferentes, dejam os un subconju
n to de n — r objetos; de ahí que, hay tantas m aneras de seleccionar r objetos
com o m aneras de dejar (o seleccionar) n — r objetos. Para dem ostrar el teorem a
en form a algebraica, escribim os
/ n \ _ _________ n\___________ n\
Vi — r ) (n — r)![n — (n — r)]! (n — r)!r!
- ñ r h - Q ■
E l teorem a 1.10 implica que si calculam os los coeficientes binom iales para r =
0 , 1, ~ cuando n es par y para r = 0 , 1, . . . , ^ , cuando n es im par, los coeficientes
binom iales restan tes se pueden obten er al utilizar el teorem a.