Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 10.3: Eficiencia 327
v a r(Ó ) 2
- [ m i
donde f{x) es el valor de la densidad de población en x yn es el tam año de la m uestra aleatoria.
Esta desigualdad, la desigualdad de Cramér-Rao. nos lleva al siguiente resultado.
t e o r e m a 10.2
Si Ó es un estim ador insesgado de 6 y
(0 )=
1
entonces 0 e s un estim ador insesgado de varianza m ínim a de 8.
E n este caso, la cantidad en el denom inador se conoce com o la información sobre 8
que que proporciona la m uestra (véase tam bién el ejercicio 10.19). Así, m ientras m e­
nor sea la varianza, m ayor es la inform ación.
EJEM PLO 10.5
M uestre que X es un estim ador insesgado de varianza m ínim a de la m edia
población norm al.
de una
Solución
Puesto que
1 .I f íZ iíV
f(x) = -¡= • e 2V " p a ra - o o < x < oo
(T V27T
se sigue que
l n /(•*) = — ln o- V 2 7 r -
a
de m anera que
y por tan to
Así,
4 ( ^ ) 1
1 o-2
- 4 ( ^ ) 1 - í '