Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 2.4: La probabilidad de un evento 37
Las probabilidades son los valores de una función de c o n ju n ta tam bién conocida
com o medida de probabilidad, ya que. com o veremos, esta función asigna núm eros reales
a los diversos subconjuntos de un espacio m uestral 5. Tal com o los form ularem os aquí,
los postulados de probabilidad se aplican sólo cuando el espacio m uestral S es discreto.
p o s t u l a d o 1
p o s t u l a d o 2 P(S) = 1.
La probabilidad de un evento es un núm ero real no negativo; esto
es, P[A ) ^ 0 para cualquier subconjunto A de S.
p o s t u l a d o 3 Si A¡,A2,A 3 es una secuencia finita o infinita de eventos
m utuam ente excluyentes de 5, entonces
P{At U A 2 U A3 U ■•• ) = P(At) + P{A2) + P(A3) +
Los postulados per se no requieren dem ostración, pero si se va a aplicar la teoría
resultante debem os dem ostrar que se satisfacen los postulados cuando dam os a las p robabilidades
un significado “real”. Ilustrem os esto aquí, en relación con la interpretación
de frecuencia; la relación en tre los postulados y el concepto clásico de probabilidad se
exam inará en la página 41. m ientras que la relación en tre los postulados y las pro b ab i­
lidades subjetivas se deja al lector para su exam en en los ejercicios 2.34 y 2.56.
Puesto que las proporciones siem pre son positivas o cero, el prim er postulado está
en com pleto acuerdo con la interpretación de frecuencia. El segundo postulado enuncia
indirectam ente que la certidum bre está identificada con una probabilidad de 1;
después de todo, siem pre se supone que debe ocurrir una de las posibilidades en S, y
es a este evento cierto que asignam os una probabilidad de 1. H asta donde concierne a
la interpretación de frecuencia, una probabilidad de 1 implica que el evento en cuestión
ocurrirá 100% de las veces o. en otras palabras, que ocurrirá con certeza.
T om ando el tercer postulado en el caso más sim ple, que es para dos eventos m u­
tuam ente excluyentes A x y A2, se puede ver fácilm ente que se cum ple por la in terp retación
de frecuencia. Si un evento ocurre, digam os, 28% de las veces, o tro evento ocurre
39% de las veces, y am bos eventos no pueden ocurrir al m ism o tiem po (es decir, son
m utuam ente excluyentes), entonces uno o el o tro ocurrirá 28 + 39 = 67% de las veces.
Así, el tercer postulado se cum ple, y el m ism o tipo de argum ento se aplica cuando
hay más de dos eventos m utuam ente excluyentes.
Antes de que estudiemos algunas de las consecuencias inmediatas de los postulados
de probabilidad, subrayemos el punto que los tres postulados no nos dicen cóm o asignar probabilidades
a los eventos; ellos m eram ente r fingen las m aneras en que se puede hacer.
EJEM PLO 2.7
U n experim ento tiene cuatro resultados posibles, A . B,Cy D, que son m utuam ente excluyentes.
Explique por qué las siguientes asignaciones de probabilidades no están permitidas:
(a ) P(A) = 0.12. P(B) = 0.63. P (C ) = 0.45, P(D) = -0 .2 0 ;
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