Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4 .5 : Funciones generatrices de m om entos 147
M,{<) = E(e'*) =
cuando X es discreta y
MAt) = j e"-f{x)dx
cuando X es continua.
L a variable independiente es /, y p or lo general estam os interesados en los valores de
i en la cercanía d e 0 .
Para explicar por qué nos referim os a esta función com o una función “generatriz
de m om entos", sustituyam os por elx su expansión en la serie de M aclaurin, esto es,
e'x = 1 + t t + ^ + ^ + - + ^ + -
2 ! 3! r.
Para el caso discreto, obtenem os así
V v W = s [
, + „ + t i + ... + t i +
2! r!
A*)
= ’Z ñ x ) + t • 2 xf{x) + 2 x2f(x) + ••• + 2 *7 (x) +
X i Í '• X
1 + til + M2 + "■ + Mr
y se puede ver que en la serie de M aclaurin de la función generatriz de m om entos de
X el coeficiente d e
e s /z ', cl résim o m om ento alrededor del origen. E n el caso continuo,
el argum ento es el mismo.
EJEM P LO 4.13
E ncuentre la función generatriz de m om entos de la variable aleatoria cuya densidad de
probabilidad está dada por
/( * )
- { f
p a ra x > 0
e n cu a lq u ier o tra p a rte
y úsela para en co n trar una expresión para /x'.