Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

346 Capítulo 10: Estimación: teoría
para k = 3. P or consiguiente, si escogem os com o nuestro estim ado de k el valor que
m axim iza la probabilidad de o b ten er los datos observados, obtenem os k = 3. L lam a­
m os a éste el estimado de máxima verosimilitud y el m étodo por el cual se obtuvo el
m étodo de m áxim a verosim ilitud.
Así, la característica esencial del m étodo de m áxim a verosim ilitud es que exam inam
os los valores de la m uestra y entonces escogem os com o nuestros estim ados de los parám
etros desconocidos los valores p ara los cuales la probabilidad o la densidad de
probabilidad de o b ten er los valores de la m uestra es un máximo. E n lo que sigue, nos lim
itarem os al caso de un parám etro; pero, com o verem os en el ejem plo 10.18, la idea general
tam bién se aplica cuando hay varios parám etros desconocidos. E n el caso discreto,
si los valores m uéstrales observados son x , , x 2 x„, la probabilidad de obtenerlos es
P^Xy Xy , X 2 X2 , ---, X n X„) /( x j , X2 , , X„ , 0)
que es ju sta m e n te el valor de la distribución de pro b ab ilid ad conjunta de las m u estras
aleatorias Af,, X 2, . . . , X„ en X¡ = x x, X 2 =■ x 2, . . . , X n = x„. Puesto que los valores
m uéstrales se han observado y, p or consiguiente, son núm eros fijos, consideram os
f(xy , x 2, . . . , x„; 0 ) com o un valor de una función de 0 , y nos referim os a esta función
com o la función de verosimilitud. Se aplica una definición análoga cuando la m uestra
aleatoria viene d e una población continua, pero en ese caso / ( x , , x 2, . . . , x „; 0 ) es el valor
de la densidad de probabilidad conjunta d e las variables aleatorias X x, X 2 X„
en A’, = x , , X 2 = x 2 X„ = x„.
d e fin ició n 1 0 3 Si x , , x 2 x„ son los valores de una m uestra aleatoria de una
población con el parám etro 0 . la fundón de verosimilitud de la m uestra está dada por
¿ ( 0 ) = A x \ . * 2 ......................x n ] 0 )
para los valores de 0 dentro de un dominio dado. En este caso f[ x ¡ , x 2, . . . , x „ ; 0) es
el valor de la distribudón de probabilidad conjunta o de la densidad de probabilidad
conjunta de las variables aleatorias A ',, X 2 X„ en A', = x , , X 2 = x 2, . . . , X„ = x „ .
Así. el m étodo de m áxim a verosim ilitud consiste en m axim izar la función de verosim i­
litud con respecto a 0 , y nos referim os al valor de 0 que m axim iza la función de vero ­
sim ilitud com o estim ador de m áxim a verosim ilitud de 0 .
EJEM PLO 10.15
D ado x “éxitos” en n intentos, encuentre el estim ador de m áxim a verosim ilitud del p a­
rám etro 0 de la distribución binom ial correspondiente.
Solución
Para en c o n trar el valor de 0 que m axim iza
L ( 0 ) =
~ 0 )ñ~x
será conveniente hacer uso del hecho que el valor de 0 que m axim iza L ( 0 ) tam ­
bién m axim iza: