Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales
5.46 C uan d o calculam os todos los valores de una distribución de Poisson, a m enudo
se p u ed e sim plificar el tra b a jo al calcular p rim ero p ( 0 ;A) y usar después la
fórm ula recursiva
P (x + 1; A) = •/?(*; A)
V erifique esta fórm ula y úsela ju n to con e 2 = 0.1353 para verificar los valores
d ados en la tabla II para A = 2.
5.47 A proxim e la probabilidad binom ial b(3; 100,0.10) al usar
(a)
(b)
la fórm ula para la distribución binom ial y logaritm os;
la tabla II
5.48 Suponga que f{x, r) es la probabilidad de o b ten er x éxitos duran te un intervalo
de tiem po de longitud / cuando (i) la probabilidad de un éxito duran te un intervalo
de tiem po m uy p eq u eñ o de t a t + Af es a • Ar, (ii) la probabilidad de
m ás de un éxito duran te dicho intervalo de tiem po es insignificante, y (iii) la
p robabilidad de un éxito d u ran te ese intervalo de tiem po no d epende de lo que
haya pasado antes del tiem po t.
(a)
D em uestre que bajo estas condiciones
f(x, t + At) = f(x, r)[l — a • Ar] + f(x — 1, t)a ■At
y p o r tan to que
(b) D em uestre por sustitución directa q ue una solución a este sistem a infinito
de ecuaciones diferenciales (hay una para cada valor de x) está dada por
la distribución de Poisson con A = at.
5.49 U se rep etid am en te la integración p or partes p ara dem ostrar que
E ste resultado es im portante porque los valores de la función de distribución de
una variable aleatoria de Poisson se pueden o b ten er así al consultar una tabla
de funciones gam m a incom pletas.
5.50 D erive las fórm ulas p ara la m edia y la varianza de la distribución de Poisson al
evaluar prim ero E{X) y E[X{X — 1)].
5.51 D em uestre que si las condiciones límite n —►oo, e —►0, m ientras nd perm anece
constante, se aplican a la función generatriz de m om entos de la distribución binom
ial, obtenem os la función generatriz de m om entos de la distribución de Poisson.
[Sugerencia: válgase del hecho que lím ^1 + ^ = e2.}
5.52 U se el teorem a 5.9 para m ostrar que para la distribución de Poisson a 3 = - ^ = ,
donde a 3 es la m edida de la asim etría definida en el ejercicio 4.34.