Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 6.4: La distribución beta 211
t e o r e m a 6.5
La m ed ia y la v arian za de la d istrib u ció n b e ta están d ad a s p o r
_ O 2 — £ 0 _________
^ a + ^ ^ (“ + P )2{<* + P + 1)
D em ostración.
Por definición.
= r(g + p) r(a + i) • r(/3)
r(g)-r(/3)' r(a + /3 + i)
g + p
d o n d e reconocim os la integral com o B (a + l,/3 ) y usam os el hecho que
F (o + 1) = o • T (g ) y T (g + p + l ) = ( a + /3) • T (o + P ). Pasos sim ilares, los
q ue se d ejarán al lector en el ejercicio 6.28, dan
-
( g + 1 )g
( a + (3 + 1 )(g + P)
y se sigue que
( g + 1 )g
<r2 =
(« + /3+ 1 )(g + P)
\g + p)
_________ ap_________
( a -1- P)2(a + P + 1)
EJERCICIOS
6.1 D em uestre que si una variable aleatoria tiene una densidad uniform e con los parám
etros a y p , la probabilidad que asum irá un valor m enor que a + p (P — a )
es igual a p.
6.2 D em uestre el teorem a 6.1
6 3 Si una variable aleatoria X tiene una densidad uniform e con los parám etros a
y p . encuentre su función de distribución.
6.4 M uestre que si una variable aleatoria tiene una densidad uniform e con los parám
etro s a y p. el résim o m om ento alred ed o r de la m edia es igual a
(a)
0 cuando r es im par;
1 ( p - a V
(b) —ijryl—2— ) cuan(*0 res Par‘
6 3 U se los resultados del ejercicio 6.4 para en co n trar g 3 y g 4 para la densidad uniform
e co n los parám etros a y p.