Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

104 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad
1- /(*> y) ^ 0 para cada par de valores de (x, y) dentro de su dom inio.
2. ^ = 1’ donde la doble sum a se extiende sobre todos los posi-
* y
bles pares de (x, y ) d en tro de su dom inio.
EJEM PLO 3.13
D eterm ine el valor de k p ara el que la función dada por
/ ( x . y ) = Arxy p a ra x = 1, 2. 3; y = 1 ,2 ,3
puede servir com o una distribución de probabilidad conjunta.
Solución
Al sustituir los diversos valores de x y y. obtenem os / ( 1 . 1) = k, f( 1 ,2 ) = 2kf
/ ( l , 3 ) = 3k, / ( 2 , 1) = 2k, / ( 2 , 2 ) = 4k, / ( 2 , 3) = 6* . / ( 3 , 1) = 3*,
/( 3 ,2 ) = bk y / ( 3 , 3) = 9*. Para satisfacer la prim era condición del teorem a
3.7, la constante k debe ser no negativa, y para satisfacer la segunda condición,
k + 2k + 3* + 2k + 4k + 6k + 3k + 6k + 9k = 1
de m anera que 36k = \ y k = ¿ .
▲
C om o en el caso univariado. hay m uchos problem as en los que interesa conocer
la probabilidad de que los valores de dos variables aleatorias sean m enores que, o iguales
a, algunos núm eros reales x y y.
d e f in i c i ó n 3.7
Si A’ y y son variables aleatorias discretas, la función dada por
f ( x , y ) = P{X á x, y g y ) = 2 2 / ( * . t) p a ra - o o < , < oo,
, S l , S > r - O O < y < CX
donde f(s, t ) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de A’ y y en
(s, t), se llam a la función de distribución conjunta, o la distribución acumulativa
conjunta, de A y y.
En el ejercicio 3.62 se pedirá al lector que dem uestre las propiedades de las funciones
de distribución conjunta que son análogas a las del teorem a 3.2.