Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

130 Capítulo 4: Esperanza matemática
4.2 EL VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA
En la ilustración de la sección anterior, la cantidad que ganam os fue una variable aleatoria,
y la esperanza m atem ática de esta variable aleatoria fue la sum a de los productos
o b ten id o s al m ultiplicar cada valor de la variable aleato ria p o r la probab ilidad
correspondiente. N os referim os a la esperanza m atem ática de una variable aleatoria
sim plem ente com o su valor esperado, y extendem os la definición al caso continuo al
reem plazar la operación de sum a p o r la integración, así tenem os
d e f in ic ió n 4.1 Si X es una variable aleatoria discreta y f(x) es el valor de su
distribución d e probabilidad en x, el valor esperado de X es
E(X) = 'Zx-f(x)
D e m anera correspondiente, si X es variable aleatoria continua y f(x) es el valor
de su densidad de probabilidad en x, el valor esperado de X es
X
E(X) = í x-f(x) dx
En esta definición se supone, por supuesto, que la sum a o la integral existe; de o tra m a­
nera. la esperanza m atem ática está indefinida.
EJEM P LO 4.1
E n un lote de 12 aparato s de televisión se incluye 2 con cables blancos. Si se e s « n en
al azar tres de los aparatos para enviarse a un hotel, ¿cuántos de los ap arato s con cables
blancos puede el expedidor esperar enviar a) hotel?
Solución
Puesto que x de los dos aparato s con cables blancos y 3 — x d e los otro s 10 ap a­
ratos se pueden escoger en m an eras’ tres *os ^ aparato s se p u e ­
d e n esco g e r de m an eras, y e sta s p o sib ilid a d e s son p re su n ta m e n te
e q u ip ro b ab les, encontram os que la distribución de probabilidad de X, el núm e­
ro de ap arato s con cables blancos enviados al hotel, está dado por
o, en form a tabular:
ex.”-)
/ ( * ) = ----- 7 ^ 7 ----- x = 0 , 1 , 2
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