Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

132 Capítulo 4: Esperanza matemática
exam inarán en el capítulo 7) y entonces usam os la definición 4.1, p ero generalm ente es
m ás fácil y m ás directo usar el siguiente teorem a
tf.o rf.m a 4.1 Si X es una variable aleatoria discreta y f{x) es el valor de su distribución
de probabilidad e n x, el valor esperado de g(-V) está dado por
£[*(■ *■ )]=
X
- m
D e form a correspondiente, si X es u na variable aleatoria continua y f(x) es el valor
de su densidad de probabilidad en x, el valor esperado de g(X) está d ad o por
D em ostración. Puesto que una dem ostración m ás general rebasa el alcance
de este texto, dem ostrarem os aquí este teorem a sólo para el caso donde X es
discreta y tiene un intervalo finito. Puesto q ue y = g(x) no necesariam ente define
una correspondencia unívoca, supongam os que g(x) asum e el valor g, cuando
x asum e los valores xn , xa ,. . . , x ^ . E ntonces, la probabilidad que g(X) asum i­
rá el valor g, es
**[*(•*■) = g¡i = 2 fon)
/= '
y si g (x ) asum e los valores g , . g 2
gm. se sigue que
m
£ [ * ( * ) ] = 1. g. ■P[g(X) = g.]
m
ni
= 2 & * 2 / W
•-i / - i
i-i i=\
X
donde la sum a se extiende sobre todos los valores de X.
EJEM P LO 4.3
Si X es el n ú m ero de puntos tirados con un dado balanceado, encuentre el valor esperado
de g ( * ) = 2X2 + 1.