Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 5 .4: La distribución binom ial 173
En el ejercicio 5.6 se sugiere una dem ostración alternativa de este teorem a que requiere
m ucho m enos detalle algebraico.
No nos debe causar sorpresa q ue el producto nft. nos dé la m edia de la distribución
binom ial. D espués de todo, si lanzam os una m oneda equilibrada 20() veces, esperam
os (en el sen tid o de esperanza m atem ática) 2 0 0 = 1 0 0 caras y 1 0 0 cruces; en
form a sim ilar, si un dad o equilibrado se tira 240 veces, esperam os 240 • j; = 40 seises, y
si la probabilidad es 0.80 de que una persona de com pras en una tienda departam ental
haga una com pra, debem os esperar que 400(0.80) = 320 de 400 personas de com pras
en la tienda d ep artam en tal hagan una com pra.
La fórm ula de la varianza de la distribución binom ial. al ser una m edida de la variación,
tiene m uchas aplicaciones im portantes; p ero , p ara subrayar su im portancia,
X
considerem os la variable aleatoria Y = — , donde X es una variable aleatoria que tiene
una distribución binom ial con los parám etros n y 0. Esta variable aleatoria es la proporción
de éxitos en n ensayos, y en el ejercicio 5.6 se le pedirá al lector q ue pruebe el
siguiente resultado.
t e o r e m a 5 3 Si X tie n e u n a d istrib u c ió n b in o m ia l c o n los p a rá m e tro s n y 0
X
y Y = — , e n to n c e s
E m - S y
A hora, si aplicam os el teorem a de Chebyshev con ker = c (véase el ejercicio 4.40),
podem os afirm ar que para cualquier constante positiva c la probabilidad es al m enos
0(1 ~ 0)
de que la proporción de éxitos en n ensayos caiga entre 0 — c y 0 + c. Por tan to , cuando
n S °°, la probabilidad se aproxim a a I de que la proporción de éxitos diferirá de 6
p o r m enos que cualquier constante arbitraria c. Este resultado se llam a una ley de grandes
núm eros, y se debe observar que aplica a la proporción de éxitos, no a su núm ero
real. Es una falacia suponer que cuando n es grande el núm ero de éxitos necesariam ente
debe estar próxim o a nO.
U na fácil ilustración de esta ley de grandes núm eros se puede o b ten er m ediante
una sim ulación p o r com putadora de los lanzam ientos repetidos de una m oneda equilibrada.
E sto se m uestra en la figura 5.2 donde los 1 y los 0 d enotan caras y cruces.
Al leer a lo ancho de renglones sucesivos, encontram os que en tre los prim eros
cinco lanzam ientos sim ulados hay 3 caras, en tre los prim eros diez hay 6 caras, en tre los
prim eros 15 hay 8 caras, entre los prim eros 20 hay 12 caras, entre los prim eros 25 hay
14 caras y e n tre todos los cien hay 51 caras. Las proporciones correspondientes, cuya
gráfica se m u estra en la figura 5.3, son | = 0.60, = 0.60. $ = 0.53, 5§ = 0.60,
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