Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

262 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias
M r(i) = E(eYl)
- * X , * ••+ * .> ]
= 1=1
lo cual dem uestra el teo rem a para el caso continuo. P ara dem ostrarlo p ara el caso
discreto, sólo tenem os q ue reem plazar todas las integrales por sum as. Y
A dvierta q ue si querem os usar el teorem a 7.3 p ara en co n trar la distribución de
probabilidad o la densidad de pro b ab ilid ad de la v ariable aleato ria Y = X x +
X2 + ••• + Xn, debem os poder identificar cualquier densidad o distribución de probabilidad
que corresponda a M y (f). Entonces, debem os basarnos en el prim ero de los dos
teorem as que dim os en la página 224, el teorem a de unicidad sobre la correspondencia
en tre las funciones generatrices de m om entos y las densidades o distribuciones de p ro ­
babilidad.
EJEM PLO 7.15
E ncuentre la distribución de probabilidad de la sum a de n variables aleatorias independientes
X x, X 2,..., X„ que tienen distribuciones de Poisson con los respectivos p a rá ­
m etros A,, A2, An.
Solución
Por el teorem a 5.9 tenem os
Mx (,) = e M '- »
y por tan to para Y = A', + X 2 + " • + X„, obtenem os
M y(t) = +*2 1)
<=i
que se p u ed e identificar rápidam ente com o la función generatriz de m om entos
de la distribución de Poisson con el p arám etro A = A, + A2 + ••• + A„. A sí, la
distribución de la sum a de n variables aleatorias independientes que tienen distribuciones
de Poisson con los parám etros A, es una distribución de Poisson con
el parám etro A = A, + A2 + ••• + A„. O bserve que en el ejem plo 7.10 dem ostram
os esto p ara n = 2. A
EJEM PLO 7.16
Si X t, X 2 X„ sin variables aleatorias independientes que tienen distribuciones exponenciales
con el m ism o p arám etro 0 , encuentre la densidad de probabilidad de la variable
aleatoria Y = X x + X 2 + ••• + X„.