Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 10: Estimación: teoría
D em ostración.
Para 0 = 6 tenem os
f ( x | 0 ) = “ 0)n~x p a r a x = 0 , 1 . 2
T (a + fi)
m =
0 en cualquier otra parte
y p o r tanto
m x ) = i ^ i - r i ( i - e> í" x ( " h 1 - e r '
—fnV-EÍ^Í-ÉL./y+e-l/l _
" U r(.).r(/8) ^ (1 e)
p ara 0 < 6 < 1 y x = 0, 1, 2 n, y f{ 8 ,x ) = 0 en cualquier o tra p arte. Para
o b ten er la densidad m arginal de X , hagam os uso del hecho que la integral de la
densidad beta de 0 a 1 es igual a 1; esto es
Así, obtenem os
I .
.i
s - v - , r ¡ * -
* (*)
= M T (q + H p ) l'( a + x ) - T ( n - x + p )
\ x ) r ( a ) . r ( P ) I > + a + P)
para x = 0 , 1 , . . . . n, y p o r tanto
* • '* > = + - 9 r ' +" '
para 0 < 6 < 1, y <p(0|.r) = 0 en cualquier otra parte. C om o se puede ver m e­
d iante u na inspección, ésta es una densidad beta con los p a rám etro s r + a y
n — x + p. ▼
Para hacer uso de este teorem a, refirám onos al resultado que (bajo condiciones
muy generales) la m edia de la distribución posterior m inim iza el riesgo de Bayes cuando
la función de pérdida es cuadrática, esto es, cuando la función de pérdida está dada por
L [ d (x ),9 ] = c[rí(x) — 0 ]2
donde c es una constante positiva. A dvierta que ésta es la función de pérd id a que usam
os en el ejem plo 9.9. Puesto que la distribución posterior de 0 es una distribución b e ­
ta con parám etros x + a y n — x + p. se sigue por el teorem a 6.5 que
£ ( 0 | x ) = •r + a
a + P + n
es un valor de un estim ador de 9 que m inim iza el riesgo de Bayes cuando la función de
pérdida es cuadrática y la distribución previa de 0 es de la form a dada.