Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 7.4: Técnica de transform ación: varias variables 251
dx2 _ _£i_
dy y 2
se sigue que
g{x¡.y) = e = - 1 . ^i/r
p ara i , > 0 y 0 < y < l . Finalm ente, al sacar x, por integración y cam biar la
variable de integración a u = x , /y , obtenem os
h(y)
■ [
- í
u •e “ du
= r (2)
= i
para 0 < y < 1 y h{y) = 0 en cualquier o tra parte. A sí, la variable aleatoria Y
tiene la densidad uniform e con a = 0 y /3 = 1. (A dvierta que en el ejercicio 7.6
se le pidió que m ostrara esto con la técnica de la función de distribución.) ▲
E l ejem plo a n te rio r tam bién se podía h a b er trab ajad o con un m éto d o general
donde em pezam os con la distribución conjunta de dos variables aleatorias X x y X 2, y
d eterm inam os la distribución conjunta de dos variables aleato rias nuevas Yt =
ux{Xx, X2) y Y 2 = u 2( X x, X2). E ntonces podem os en co n trar la distribución m arginal de
y ^2 P °r sum a o integración.
Este m étodo se usa principalm ente en el caso continuo, donde necesitam os el siguiente
teorem a, que es una generalización directa del teorem a 7.1.
t e o r e m a 72
Sea f[xx,x2) el valor de la densidad de probabilidad conjunta de
las variables aleatorias continuas X xy A"2 en (x,, x2). Si las funciones dadas p o r yx =
. * 2) y > '2 = m2(*i *-*2) son parcialm ente diferenciables con respecto tanto a x,
com o a x2 representan una transform ación unívoca para todos los valores dentro
del intervalo de X x y X 2 para los cuales f[xx,x2) ^ 0, entonces, para estos valores
de xx y x2, las ecuaciones yx = u ,( x ,, x2) y y 2 = u2(xx, x 2) se pueden resolver
de m anera única para x, y x2 a fin de dar x, =
, y2) y x 2 = w2(yx, y 2), y para
los valores correspondientes de y, y y2. la densidad de probabilidad conjunta de
y , = ux(X x, X2) y Y2 = u2(Xx, X2) está dada por
«Owz) = /twji(yi.,v2).W>'i.>’2)]'M
A quí, J, llam ado el jacobiano de la transform ación, es el determ inante