Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales
Solución
Al usar m edia hora com o la unidad de tiem po, tenem os a
guíente, el tiem po de espera es una variable aleatoria que
exponencial con 0 = ¿ y, puesto que 5 m inutos es ¿ de la
contram os que la probabilidad deseada es
= A = 8.4. P or consiliene
una distribución
unidad de tiem po, en-
+ 1
que es aproxim adam ente 0.75
▲
v
O tro caso especial de la distribución gam m a surge cuando a = — y /3 = 2, donde
v es la m inúscula de la letra griega ni.
definición 6.4 U na variable aleatoria X tiene una distribución ji cuadrada y se
conoce com o u na variable aleatoria ji cuadrada si y sólo si su densidad de pro b a­
bilidad está dad a por
1
2r/2r(v/2)
o
J i ­
p a ra x > 0
e n c u a lq u ier o tra p a rte
El parám etro v se conoce com o el número de grados de libertad, o sim plem ente grados
de libertad. La distribución ji cuadrada juega un papel m uy im portante en la te o ­
ría de! m uestreo, y se exam ina con cierto detalle en el capítulo 8 .
Para derivar las fórm ulas p ara la m edia y la varianza de la distribución gam m a y,
por tan to , de las distribuciones exponencial y ji cuadrada, dem ostrem os prim ero el siguiente
teorem a.
teo r em a 6.2 El résim o m om ento alrededor del origen de la distribución gam ­
m a está dado por
, _ 0 T ( a + r)
Mr p / \
r(o)
D em ostración. P or la definición 4.2,