Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 7.4: Técnica de transformación: varias variables 255
U na vez determ inada la densidad de probabilidad conjunta de las tres nuevas variables
aleatorias, podem os encontrar la densidad m arginal de dos variables aleatorias cualquiera,
o de una cualquiera, por integración.
EJEM PLO 7.14
Si la densidad de probabilidad conjunta de X¡, X 2 y X 3 está dada por
A * 1, x2,x3) — |
e~[x' +x^ x^ p ara v, > 0 , x 2 > 0 , x 3 > 0
0 en cu a lq u ier o tra p a rte
encuentre
Solución
(a ) la densidad conjunta de Yx = X x + X 2 + X 3, Y 2 — X 2 y Y 3 = X 3\
(b ) la densidad m arginal de E ,.
(a ) Al resolver el sistem a de ecuaciones y, = x, + x 2 + x it y 2 = x 2 y y 3 = x^
para x t , x 2 y obtenem os x, = y, - y 2 ~ y 3, x2 = y 2 y x 3 = y 3. Se sigue
que
J =
1 - 1 - 1
0 1 0
0 0 1
= 1
y, puesto que la transform ación es unívoca, que
« ( 7 1 . y 2.y 3) = e~rx' U I
para y 2 > 0 . y 3 > Oy y, > y 2 + y3; en cualquier otra parte, g (y ,, y 2, y 3) = 0 .
(b ) Elim inam os y 2 y y 3, por integración, y obtenem os
/•vi rr, ryx~y, r*\ **
My.) = l Ja e ,xdy2dy3
= jvT -,-'
p ara y, > 0; h(y( ) = 0 en cualquier otra parte. O bserve que hem os m ostrado
que la sum a de tres variables aleatorias independientes que tienen la
distribución gam m a con a = 1 y /3 = 1 es una variable aleatoria que tiene
la distribución gam m a con a = 3 y /3 = 1. ▲
C om o el lector encontrará en el ejercicio 7.47, hubiera sido m ás fácil o b ten e r el
resultado del inciso (b) del ejem plo 7.14 usando el m étodo basado en el teorem a 7.1 com
o se m odificó en la página 249.