Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

186 Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales
(b)
A l sustituir x — 2, n
binom ial, obtenem os
5 y 0 = $o = 5 c n la fórm ula p ara la distribución
= 0.165
red o n d ead o a tres decim ales. C om o se puede ver a p artir de estos resu ltados
la aproxim ación es m uy cercana. ▲
5 .7 L A D IS T R IB U C IÓ N D E P O IS S O N
C uando n es grande, el cálculo de las probabilidades binom iales con la fórm ula de la
definición 5.3 im plica una cantidad prohibitiva de trab ajo . P or ejem plo, p ara calcular
la probabilidad d e que 18 de 3,000 personas, que ven un desfile en un día m uy caluroso
/3 ,0 0 0 \
de v erano, sufrirán de insolación, prim ero debem os d e term in ar I ^ I, y si la
probabilidad es 0.005 de q ue cualquiera de las 3,000 personas que ven el desfilen sufrirán
de insolación, tam bién tenem os que calcular el valor de (0.005) l8(0.995)2-982.
E n esta sección p resentarem os una distribución de probabilidad que se puede
usar para aproxim ar probabilidades binom iales de esta clase. E specíficam ente, investigarem
os la form a lím ite de la distribución binom ial cuando n -» < » , 0 -►0 , m ientras nd
perm anece constante. Sea esta constante A. esto es, nd = A y, por tanto, 0 = p o d e­
m os escribir
6 (x; n, fl) = Q ( ¿ ) ( l -
= n(«- l)(n -(B - x + l ) ^ i _ A J--
Entonces, si dividim os uno de los x factores n en cada factor del producto n (n — 1)
(n — 2 ) • ... • (n — x + 1 ) y escribim os
( , . i j - [ ( , . . i ) -
obtenem os
l(l - - 1);! - ( ' - r n ■ - r