Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4 .2: El valor esperado de una variable aleatoria 133
Solución
Puesto que cada resultado posible tiene la probabilidad g, obtenem os
E[g(X)]= Í ( 2 * ’ + l)-i
= (2-12+ 1 ) - - + (2-6J + l)-i
94
EJEM P LO 4.4
Si X tiene la densidad de probabilidad
f{x) = i e" para-t > 0
[ 0 en cu a lq u ier o tra parte
encuentre el valor esperado de g(X) = eiXI*.
Solución
D e acuerdo al teorem a 4.1, tenem os
La determ inación de las esperanzas m atem áticas a m enudo se puede sim plificar
al usar los siguientes teorem as, que nos perm iten calcular los valores esperados a p a r­
tir de otras esp eran zas conocidas o fácilm ente calculadas. P uesto que los pasos son
esencialm ente los m ism os, algunas dem ostraciones se harán para el caso discreto o p a­
ra el caso continuo; otras se dejan com o ejercicios para el lector
t e o r e m a 42
Si a y b so n co n sta n te s, e n to n ces
E(aX + ¿>) = aE(X) + b