Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 10.3: Eficiencia 329
Si dejam os los detalles al lector en el ejercicio 10.27. se puede m ostrar que
ín + 1 „ \ _
p2
Puesto que la varianza de la población es
= — de acuerdo al teorem a
/ — \ P2
6 .1, se sigue p or el teorem a 8.1 que v a r(A ') = y por tan to que
fl2
v a r( 2 A") = 4*var(A') = — 3 n
Por consiguiente, la eficiencia de 2X relativa a - -- - - • Y„ está dada por
, « + 1 „ \ P 2
v ar — Y„
n n J n (n + 2 )
var(2A ") ¿ n + 2
y se puede ver que para n > 1 el estim ador basado en la estadística de nésim
o o rd en , es m ucho m ás eficiente que la otra. Para n = 10, por ejem plo,
la eficiencia relativa es sólo 25 p or ciento, y para n = 25 sólo es 11 por
ciento. ▲
3n
EJEM PLO 10.7
C uando la m edia d e una población norm al se estim a sobre la base de una m uestra aleatoria
de tam año 2m + 1 , ¿cuál es la eficiencia de la m ediana relativa a la m edia?
Solución
Por el teorem a 8.1 sabem os que X es insesgado y que
var(*> = 2 7 T T
E n lo que se refiere a A' es insesgado en virtud de la sim etría de la distribución
norm al alred ed o r de su m edia, y sabem os por el análisis que siguió al teorem a
8.17 que p a ra m uestras grandes
V . W = £
Así. para m uestras grandes, la eficiencia de la m ediana relativa a la m edia es: