Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4 .2 : El valor esperado de una variable aleatoria 135
EJEM P LO 4.5
R ecurrim os al hecho de que
E(X2) = ( l 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 52 + 6 2)
= y
p ara la variable aleatoria del ejem plo 4.3, rehaga ese ejem plo.
Solución
Q1 Q 4
E(2X2 + l ) = 2E(X2) + 1 = 2 - — + 1 = —
o 3
▲
E JEM P LO 4.6
Si la densidad de probabilidad de X está dada por
2 ( 1 — * ) p a ra 0 < x < 1
en cu a lq u ier o tra p a rte
(a)
dem uestre que
E W ( , + l K r + 2 )
(b)
y use este resultado para evaluar
£ [ ( 2X + 1)! ]
Solución
(a)
E(X') = f xr-2{\ - x)dx = 2 f (xT - xr+l) dx
Jo
Jo
= 2 ( — 1________ L - ) = ________2______
\ r + 1 r + 2/ (r+l)(r + 2 )
(b)
P u esto que E[{2X + 1 )2] = 4E(X2) + 4 E(X) + 1 y la sustitución de
r = l y r = 2enla fórm ula anterior nos da E(X) = = | y E(X2) =
2 i 2 * 3 3
= —, obtenem os
3 - 4 6 ’
E[{ 2X + 1)2J = 4 - | + 4 - j + 1 = 3
▲
EJEM P LO 4.7
D em uestre que
E[(aX + ó )"] =
o V ‘ /