Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 14.2: Regresión lineal 453
A dvierta que la esperanza condicional obtenida en el ejem plo an terio r depende
de x x p e ro no de x3. E sto se podía haber esperado, puesto que indicam os en la página
123 que hay una independencia por parejas en tre X 2 y X$.
14.2 REGRESIÓN LINEAL
U n a característica im portante del ejem plo 14.2 es que la ecuación de regresión es lineal:
esto es, es de la form a
flyu = « + Px
donde a y /3 son constantes, llam adas los coeGcientes de regresión. H ay varias razones
de p o r qué las ecuaciones de regresión lineal son de especial interés: prim ero, se prestan
rápidam ente a un tratam iento m atem ático adicional; después, a m enudo proveen
buenas aproxim aciones a ecuaciones de regresión de otra form a com plicadas; y finalm
ente, en el caso de la distribución norm al bivariada, que estudiam os en la sección 6.7,
las ecuaciones de regresión son, de hecho, lineales.
Para simplificar el estudio de las ecuaciones de regresión lineales, expresemos los coeficientes
de regresión a y /3 en términos de algunos de los m omentos más pequeños de la distribución
conjunta de A 'y Y, esto es, en términos de E( X) = n x, E(Y) = ¿i2, v a r(A ) =<r\ ,
v a r ( y ) = y cov(A ', Y) = o l2. Entonces, al usar tam bién el coeficiente de correlación
P = ^ ~
H a\<*i
definido en la sección 6.7, podem os p ro b ar los siguientes resultados
teorem a 14.1
Si la regresión de Y sobre X es lineal, entonces
Uvu = M2 + P ^r(x ~ Mi)
y si la regresión de X sobre Y es lineal, entonces
Hx]y = Mi + P ^r(y - Az)
D em ostración. Puesto que = a + (3x, se sigue que
J y w(y\x) dy = a + px
y si m ultiplicam os la expresión en am bos lados de esta ecuación p o rg (x ), el valor
correspondiente de la densidad m arginal de X , e integram os sobre x, obtenem os
J j y w ( y |x ) g ( x ) dydx = a f g(x) dx + P Jx-g(x) dx